vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-4-308-314vestifm-745Research ArticleФИЗИКАPHYSICSСферически-симметричные нестатические решения уравнений ЭйнштейнаSpherically-symmetric non-static solutions of Einstein’s equationsВыблыйЮ. П.VyblyiYu. P.

Выблый Юрий Петрович – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

пр. Независимости, 68-2, 220072, Минск

Yuri P. Vyblyi – Ph. D. (Physics and Mathematics), Leading Researher

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk, Republic of Belarus

vyblyi@gmail.comЛеоновичА. А.LeonovichA. A.

Леонович Анатолий Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент

ул. П. Бровки, 6, 220013, Минск

 

Anatoli A. Leonovich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk, Republic of Belarus)

kaffiz@bsuir.byИнститут физики имени Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarussian State University of Informatics and Radioelectronics202305012024594308314Copyright © Выблый Ю.П., Леонович А.А., 20242024Выблый Ю.П., Леонович А.А.Vyblyi Y.P., Leonovich A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/745

Рассмотрены нестатические вакуумные сферически-симметричные решения системы уравнений Эйнштейна и условий гармоничности в системе координат с отличной от нуля пространственно-временной компонентой метрики. Для случая слабого поля получено частное решение приближенных уравнений, которое соответствует нестатическому источнику, граница которого движется с постоянной скоростью. Для точных уравнений Эйнштейна получено решение волнового типа, определяемое двумя заданными неявно функциями, зависящими, соответственно, от запаздывающего аргумента и радиальной координаты. Обсуждается связь этих решений с теоремой Биркгофа.

In this paper, we considered non-static vacuum spherically symmetric solutions of the Einstein equations and harmonicity conditions in the coordinate system with a non-zero space-time component in the metric. For the case of the weak field, a particular solution of the approximate equations was obtained, which corresponds to a nonstatic source whose boundary moves with a constant speed. For the exact Einstein’s equations we obtained a wave-type solution, determined by two implicitly specified functions, depending on the retarded argument and on the radial coordinate, respectively. The connection between these solutions and the Birkhoff theorem is discussed.

теория гравитацииуравнения Эйнштейнатеорема Биркгофасферическая симметриянестатические решениягравитационная волнаtheory of gravityEinstein’s equationsBirkhoff theoremspherical symmetrynonstatic solutionsgravitational waveРабота выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант № Ф22МЦ-005).The work was carried out with the support of the Belarusian Republican Foundation for Basic Research (grant no. Ф22МЦ-005).ReferencesBirkhoff, G. Relativity and Modern Physics / G. Birkhoff. – Harvard University Press, 1923. – 283 p. https://doi.org/10.1126/science.58.1513.539Birkhoff G. Relativity and Modern Physics. Harvard University Press, 1923. 283 p. https://doi.org/10.1126/science.58.1513.539Poincare, H. Sur la dynamique de l’electron / H. Poincare // Rendiconti Circolo Mat. Palermo. – 1906. – Vol. 21. – P. 129–176. https://doi.org/10.1007/bf03013466Poincare H. Sur la dynamique de l’electron. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1906, vol. 21, pp. 129–176. https://doi.org/10.1007/bf03013466Birkhoff, G. Flat space–time and gravitation / G. Birkhoff // Proc. Nat. Acad. Sci. – 1944. – Vol. 30, № 10. – P. 324–334. https://doi.org/10.1073/pnas.30.10.324Birkhoff G. Flat space–time and gravitation. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1944, vol. 30, no. 10, pp. 324–334. https://doi.org/10.1073/pnas.30.10.324Gupta, S. Quantization of Einstein’s Gravitational Field: General Treatment / S. Gupta // Proc. Phys. Soc. Sect. A. – 1952. – Vol. 65, № 8. – P. 608–619. https://doi.org/10.1088/0370-1298/65/8/304Gupta S. Quantization of Einstein’s Gravitational Field: General Treatment. Proceedings of the Physical Society. Section A, 1952, vol. 65, no. 8, pp. 608–619. https://doi.org/10.1088/0370-1298/65/8/304Thirring, W. E. An alternative approach to the theory of gravitation / W. E. Thirring // Ann. Phys. – 1961. – Vol. 16, № 1. – P. 97–117. https://doi.org/10.1016/0003-4916(61)90182-8Thirring W. E. An alternative approach to the theory of gravitation. Annals of Physics, 1961, vol. 16, no. 1, pp. 97–117. https://doi.org/10.1016/0003-4916(61)90182-8Deser, S. Self-interaction and gauge invariance / S. Deser // Gen. Rel. Grav. – 1970. – Vol. 1. – P. 9–18. https://doi.org/10.1007/bf00759198Deser S. Self–interaction and gauge invariance. General Relativity and Gravitation, 1970, vol. 1, pp. 9–18. https://doi.org/10.1007/bf00759198Feynman, R. Feynman Lectures on Gravitation / R. Feynman. – CRC Press, 2018. – 296 p. https://doi.org/10.1201/9780429502859Feynman R. Feynman Lectures on Gravitation. CRC Press, 2018. 296 p. https://doi.org/10.1201/9780429502859Logunov, A. A. Relativistic theory of gravitation / A. A. Logunov, M. A. Mestvirishvili // Prog. Theor. Phys. – 1985. – Vol. 74, № 1. – P. 31–50. https://doi.org/10.1143/ptp.74.31Logunov A., Mestvirishvili M. A. Relativistic theory of gravitation. Progress of Theoretical Physics, 1985, vol. 74, no. 1, pp. 31–50. https://doi.org/10.1143/ptp.74.31Fronsdal, C. On the theory of higher spin fields / C. Fronsdal // Il Nuovo Cimento. – 1958. – Vol. 9. – P. 416–443. https://doi.org/10.1007/bf02747684Fronsdal C. On the theory of higher spin fields. Il Nuovo Cimento, 1958, vol. 9, pp. 416–443. https://doi.org/10.1007/bf02747684Barnes, K. J. Lagrangian theory for the second-rank tensor field / K. J. Barnes // J. Math. Phys. – 1965.– Vol. 6. – P. 788–794. https://doi.org/10.1063/1.1704335Barnes K. J. Lagrangian theory for the second-rank tensor field. Journal of Mathematical Physics, 1965, vol. 6, pp. 788–794. https://doi.org/10.1063/1.1704335Fock, V. The Theory of Space, Time and Gravitation / V. Fock. – Pergamon Press – Macmillan Company, 1964. – 411 p. https://doi.org/10.1016/b978-0-08-010061-6.50012-3Fock V. The Theory of Space, Time and Gravitation. Pergamon Press – Macmillan Company, 1964. 411 p. https://doi.org/10.1016/b978-0-08-010061-6.50012-3Landau, L. D. The Classical Theory of Fields / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. – Oxford: Pergamon Press, 1975. – 402 p.Landau L., Lifshitz E. M. The Classical Theory of Fields. Oxford, Pergamon Press, 1975. 402 p.eonovich, A. Fock energy-momentum tensor in Relativistic Theory of Gravitation / A. Leonovich, Yu. Vyblyi // Methods of Non-Euclidian Geometry in Modern Physics: Proc. of the V Int. Conf. – Minsk, 2007. – P. 207–211.Leonovich A., Vyblyi Yu. Fock energy-momentum tensor in Relativistic Theory of Gravitation. Methods of NonEuclidian Geometry in Modern Physics: Proceedings of the V International Conference. Minsk, 2007, pp. 207–211.Leonovich, A The classical energy-momentum problem and Fock tensor in relativistic theory of gravitation / A. Leonovich, Yu. Vyblyi // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2018. – Vol. 21, № 4. – P. 406–410.Leonovich A., Vyblyi Yu. The classical energy-momentum problem and Fock tensor in relativistic theory of gravitation. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2018, vol. 21, no. 4, pp. 406–410.Chernikov, N. The theory of conformal–invariant scalar field / N. A. Chernikov, E. A. Tagirov // Annales de l’Institut Henri Poincaré. – 1968. – Vol. A9. – P. 109–141.Chernikov N., Tagirov E. A. The theory of conformal-invariant scalar field. Annales de l’Institut Henri Poincaré, 1968, vol. A9, pp. 109–141.Oппенгеймер, Ю. О безграничном гравитационном сжатии / Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. – М.: Мир, 1979. – 592 с.Oppenheimer J. R., Snyder H. On unlimited gravitational pressing. Physical Review, 1939, vol. 56, pp. 455–462. https://doi.org/10.1103/physrev.56.455Weinberg, S. Gravitation and Cosmology / S. Weinberg. – New York: Wiley, 1972. – 657 p.Weinberg S. Gravitation and Cosmology. New York, Wiley, 1972. 657 p.Ohanian, Н. С. Gravitation and Spacetime / Н. С. Ohanian, R. Ruffini. – Cambridge University Press, 2013. – 528 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781139003391Ohanian, Н. С., Ruffini R. Gravitation and Spacetime. Cambridge University Press, 2013. 528 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781139003391Poisson, E. Gravity / E. Poisson, C. Will. – Cambridge University Press, 2014. – 780 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781139507486Poisson E., Will C. Gravity. Cambridge University Press, 2014. 780 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781139507486

The authors declare that there are no conflicts of interest present.