Деменчук Александр Константинович – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Aleksandr K. Demenchuk – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher of the Department of Differential Equations
11, Surganov Str., Minsk, 220072
Рассматривается линейная система управления с периодической матрицей коэффициентов и программным управлением. Матрица при управлении постоянная, прямоугольная (число столбцов не превосходит числа строк), и ее ранг не является максимальным, т. е. меньше числа столбцов. Предполагается, что управление является периодическим, при этом модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого управления, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится задача построить такое управление из допустимого множества, которое переводит систему в асинхронный режим, т. е. у системы должны появиться периодические решения, такие что пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей синтеза асинхронного режима. Решение сформулированной задачи существенным образом зависит от структуры среднего значения матрицы коэффициентов. В частности, ее решение известно для систем с нулевым средним, также найдены условия ее разрешимости в случае, когда у матрицы при управлении есть нулевые строки, усреднение матрицы коэффициентов приводится к виду с левым верхним диагональным блоком и нулевыми остальными блоками. В данной работе рассматривается более общий случай с нетривиальным левым нижним блоком. В предположении неполного столбцового ранга матричной функции, составленной из строк осциллирующей части матрицы коэффициентов, построено в явном виде управляющее воздействие, переводящее систему в асинхронный режим.
A linear control system with a periodic matrix of coefficients and program control is considered. The matrix under control is constant, rectangular (the number of columns does not exceed the number of rows) and its rank is not maximum, i. e. less than the number of columns. It is assumed that the control is periodic, and the module of its frequencies, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all Fourier exponents of this control, is contained in the frequency module of the coefficient matrix. The following task is posed: to construct such a control from an admissible set that switches the system to asynchronous mode, i. e. the system must have periodic solutions such that the intersection of the frequency moduli of the solution and the coefficient matrix is trivial. The problem posed is called the problem of synthesis of asynchronous mode. The solution to the formulated problem significantly depends on the structure of the average value of the coefficient matrix. In particular, its solution is known for systems with zero average. In addition, solvability conditions were obtained in the case when the matrix under control has zero rows, the averaging of the coefficient matrix is reduced to the form with upper left diagonal block and with zero remaining blocks. In this paper we consider a more general case with a nontrivial left lower block. Assuming an incomplete column rank of the matrix function composed from the rows of oscillation path of the coefficient matrix, we construct the control explicitly. This control switches the system to asynchronous mode.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.