vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2024-60-1-34-42vestifm-761Research ArticleФИЗИКАPHYSICSОб алгебре симметрии одномерного квантово-механического осциллятора на гиперболеOn the symmetry algebra of a one-dimensional quantum-mechanical oscillator on a hyperbolahttps://orcid.org/0000-0001-7384-3621ЛаврёновА. Н.LavrenovA. N.

Лаврёнов Александр Николаевич – кандидат фи­зико-математических наук, доцент, доцент кафедры информатики и методики преподавания информатики

ул. Советская, 18, 220030, Минск

Alexandre N. Lavrenov – Ph. D. (Physics and Mathe­ matics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Informatics and Methods of Teaching Infor­ matics

18, Sovetskaya Str., 220050, Minsk 

lanin0777@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-3650-8987ЛаврёновИ. А.LavrenovI. A.

Лаврёнов Иван Александрович – ведущий специа­лист

ул. Я. Купалы, 25, 220030, Минск

Ivan А. Lavrenov – Leading Specialist

25, Y. Kupala Str., 220030, Minsk

lanin99@mail.ruБелорусский государственный педагогический университет имени Максима ТанкаBelarusian State Pedagogical University named after Maxim TankООО «Октонион технолоджи»Octonion technology Ltd2024020420246013442Copyright © Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А., 20242024Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А.Lavrenov A.N., Lavrenov I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/761

Рассмотрена квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе на гиперболе как одномерном пространстве постоянной отрицательной кривизны. Дано обобщение на модель сингулярного осциллятора (СО) в одномерных геометриях Кэли – Клейна методом факторизации. Найдены спектр энергии и волновые функции стационарных состояний, имеющие кривизну пространства в качестве параметра. Для уровней энергии СО эффект ненулевой кривизны проявляется наглядным образом через положительное или отрицательное в зависимости от знака кривизны слагаемое квадратичное по номеру уровня. Полученные результаты совпадают с результатами, опубликованными ранее. Также показана в явном виде динамическая симметрия проблемы, которая реализуется в виде квадратичной алгебры Хана QH(3) или изоморфной ей алгебры Хиггса.

The quantum-mechanical problem of a harmonic oscillator on a hyperbola as a one-dimensional space of constant negative curvature is considered in this article. A generalization to the singular oscillator model in the context of one-dimensional Cayley – Klein geometries is given by the factorization method. The energy spectrum and wave functions of stationary states are found having the curvature of space as a parameter. For the energy levels of the singular oscillator, the effect of non-zero curvature is clearly manifested through a positive or negative term, depending on the sign of the curvature, which is quadratic in the level number. The results obtained are consistent with those previously published. The dynamical symmetry of the problem is shown explicitly as a quadratic Hahn algebra QH(3) or its isomorphic Higgs algebra.

сингулярный осцилляторпространство постоянной отрицательной кривизныгиперболаалгебра Ханаthe singular oscillatorthe space of constant negative curvaturethe hyperbolaa Hahn algebraa Higgs alge- braCaley – Klein geometriesReferencesGenest, V. X. Superintegrability in Two Dimensions and the Racah – Wilson Algebra / V. X. Genest, L. Vinet, A. S. Zhedanov // Lett. Math. Phys. – 2014. – Vol. 104. – P. 931–952. https://doi.org/10.1007/s11005-014-0697-yGenest V. X., Vinet L., Zhedanov A. S. Superintegrability in Two Dimensions and the Racah – Wilson Algebra. Letters in Mathematical Physics, 2014, vol. 104, pp. 931–952. https://doi.org/10.1007/s11005-014-0697-yThe Racah algebra: An overview and recent results LANL [Electronic resource] / H. D. Bie [et al.] // Arxiv [Preprint]. – 2020. – Mode of access: https://arxiv.org/abs/2001.11195. https://doi.org/10.48550/arXiv.2001.11195Bie H. D., Iliev P., Vijver W., Vinet L. The Racah algebra: An overview and recent results LANL. Arxiv [Preprint], 2020. Available at: https://arxiv.org/abs/2001.11195. https://doi.org/10.48550/arXiv.2001.11195Cariñena, J. F. The quantum harmonic oscillator on the sphere and the hyperbolic plane / J. F. Cariñena, M. F. Rañada, M. Santander // Ann. Phys. – 2007. – Vol. 322, № 10. – P. 2249–2278. https://doi.org/10.1016/j.aop.2006.10.010Cariñena J. F., Rañada M. F., Santander M. The quantum harmonic oscillator on the sphere and the hyperbolic plane. Annals of Physics, 2007, vol. 322, no. 10, pp. 2249–2278. https://doi.org/10.1016/j.aop.2006.10.010Cariñena, J. F. The quantum free particle on spherical and hyperbolic spaces: A curvature dependent approach / J. F. Cariñena, M. F. Rañada, M. Santander // J. Math. Phys. – 2011. – Vol. 52, № 7. – P. 072104. https://doi.org/10.1063/1.3610674Cariñena J. F., Rañada M. F., Santander M. The quantum free particle on spherical and hyperbolic spaces: A curvature dependent approach. Journal of Mathematics and Physics, 2011, vol. 52, pp. 072104. https://doi.org/doi.org/10.1063/1.3610674Alonso, M. A. Wigner functions for curved spaces. I. On hyperboloids / M. A. Alonso, G. S. Pogosyan, K. B. Wolf // J. Math. Phys. – 2002. – Vol. 43. – P. 5857–5871. https://doi.org/10.1063/1.1518139Alonso M. A., Pogosyan G. S., Wolf K. B. Wigner functions for curved spaces. I. On hyperboloids. Journal of Mathematics and Physics, 2002, vol. 43, no. 7, pp. 5857–5871. https://doi.org/10.1063/1.1518139Burdik, C. Two exactly-solvable problems in one-dimensional hyperbolic space / C. Burdik, G. S. Pogosyan // Lie Theory and Its Applications in Physics: Proc. V Int. Workshop, Varna, Bulgaria, 16–22 June 2003. – P. 294–300. https://doi.org/10.1142/9789812702562_0018Burdik C., Pogosyan G. S. Two exactly-solvable problems in one-dimensional hyperbolic space. Lie Theory and Its Applications in Physics. Proceedings of the Vth International Workshop, Varna, Bulgaria, 16–22 June 2003, pp. 294–300. https://doi.org/10.1142/9789812702562_0018Громов, Н. А. Квантовая механика на одномерных геометриях Кэли – Клейна / Н. А. Громов, В. В. Куратов // Изв. Коми науч. центра УрО РАН. – 2017. – Вып. 2 (30). – С. 5–11.Gromov N. A., Kuratov V. V. Quantum mechanics on one-dimentional Cayley – Klein geometries. Izvestiya Komi nauchnogo tsentra UrO RAN – Proceedings of the Komi science centre Ural branch Russian Academy of sciences, 2017, no. 2 (30), pp. 5–11 (in Russian).Schrödinger, E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions / E. Schrödinger // Proc. Roy. Irish. Soc. A. – 1940. – Vol. 46A. – P. 9–16.Schrödinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, vol. 46A, pp. 9–16.Infeld, L. A note on the Kepler problem in a space of constant negative curvature / L. Infeld, A. Schild // Phys. Rev. – 1945. – Vol. 67, № 3–4. – P. 121–122. https://doi.org/10.1103/physrev.67.121Infeld L., Schild A. A note on the Kepler problem in a space of constant negative curvature. Physical Review, 1945, vol. 67, no. 3–4, pp. 121–122. https://doi.org/10.1103/physrev.67.121Higgs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // J. Phys. A. – 1979. – Vol. 12, № 4. – P. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. Journal of Physics A, 1979, vol. 12, no. 4, pp. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге – Ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. Акад. наук БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 987–990.Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. Analog of the Runge – Lenz vector and energy spectrum in the Kepler problem on a three-dimensional sphere. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1979, vol. 23, no. 11, pp. 987–990 (in Russian).Богуш, А. А. О квантовомеханической задаче Кеплера в трехмерном пространстве Лобачевского / А. А. Богуш, Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. Акад. наук БССР. – 1980. – Т. 24, № 1. – С. 19–22.Bogush A. A., Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. The quantum-mechanical Kepler problem in three-dimensional Lobačevskiĭ space. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1980, vol. 24, no. 1, pp. 19–22 (in Russian).Basu, D. The Clebsch–Gordan coefficients of the three-dimensional Lorentz algebra in the parabolic basis / D. Basu, K. B. Wolf // J. Math. Phys. – 1983. – Vol. 24, № 3. – P. 478–500. https://doi.org/10.1063/1.525745Basu D., Wolf K. B. The Clebsch–Gordan coefficients of the three-dimensional Lorentz algebra in the parabolic basis. Journal of Mathematics and Physics, 1983, vol. 24, no. 3, pp. 478–500. https://doi.org/10.1063/1.525745Zhedanov, A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials / A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Gen. Phys. – 1993. – Vol. 26, № 18. – P. 4633–4641. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027Zhedanov A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials. Journal of Physics A: General Physics, 1993, vol. 26, no. 18, pp. 4633–4641. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027

The authors declare that there are no conflicts of interest present.