vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2024-60-2-106-116vestifm-778Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМарковские модели разрушения неоднородных сред и проектирование слоистых конструкций, синтезируемых по аддитивной технологииMarkov fracture models of inhomogeneous media and design of layered structures synthesized by additive technologyЖуравковМ. А.ZhuravkovM. A.

Журавков Михаил Анатольевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики

ул. Бобруйская, 9, 220006, Минск

Michael A. Zhuravkov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Theoretical and Applied Mechanics

9, Bobruiskaya Str., 220030, Minsk

zhuravkov@bsu.byЗамжицкая-ЧигареваЮ. А.Zamzhitskaya-ChigarevaYu.

Замжицкая-Чигарева Юлия Анатольевна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИЛ прикладной механики кафедры теоретической и прикладной механики

ул. Бобруйская, 9, 220006, Минск

Yuliya Zamzhitskaya-Chigareva – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior Researcher of Research laboratory of Applied mechanics, Department of Theoretical and Applied mechanics

9, Bobruiskaya Str., 220030, Minsk

yuliatchigareva@yandex.byБелорусский государственный университетBelarusian State University202409072024602106116Copyright © Журавков М.А., Замжицкая-Чигарева Ю.А., 20242024Журавков М.А., Замжицкая-Чигарева Ю.А.Zhuravkov M.A., Zamzhitskaya-Chigareva Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/778

Рассматривается задача исследования разрушения композитного макрослоя, синтезированного по аддитивной технологии на твердой подложке, с которой жестко скреплена граница нижнего микрослоя. Материалы микрослоев однородные изотропные. Управляющими параметрами синтеза являются толщина микрослоев и общая толщина макрослоя, а также физико-механические характеристики микрослоев и их сочетание в макрослое. Слой разрушается трещиной, которая может появиться в его верхнем (или любом другом) слое и продвигаться в направлении подложки или свободной поверхности, перпендикулярно границам микрослоев. Трещина может останавливаться на границах между слоями (тогда это выделяется как отдельное состояние) или проходить границы без остановок. На основе теории марковских цепей рассчитаны средний ресурс стратифицированного слоя, синтезированного на подложке по аддитивной технологии, а также дисперсия числа циклов (ресурса), характеризующая качество синтезированной конструкции. На базе материалов, доступных для синтеза слоистого покрытия, решаются задачи оптимального проектирования композитного тела, обладающего максимальным средним ресурсом, минимальной дисперсией ресурса, максимальной удельной прочностью при заданных геометрических и физико-математических ограничениях на параметры композита. Для поиска оптимальных решений применяются алгоритмы динамического программирования, реализуемые на цепях (графах) последовательного подбора сочетания материалов слоев по их синергетическим свойствам.

We consider the problem of studying the fracture of a composite macrolayer synthesized by additive technology on a solid substrate, to which the boundary of the lower microlayer is rigidly bonded. The materials of the microlayers are homogeneous and isotropic. The thicknesses of microlayers and the total thickness of the macrolayer are the control parameters of synthesis. The physical and mechanical characteristics of the microlayers and their combination in the macrolayer are also controlling parameters. The layer is fractured by a crack, which may appear in the top layer (or any other layer) and move toward the substrate or free surface, perpendicular to the boundaries of the microlayers. The crack can stop at the boundaries between the layers (then it is treated as a separate state) or pass through the boundaries without stopping. Based on the theory of Markov chains, the average lifetime of a stratified layer synthesized on a substrate using additive technology and the variance of the number of cycles (lifetime) characterizing the quality of the synthesized structure are calculated. On the basis of the materials available for the synthesis of the layered coating, the problems of optimal design of the composite body with maximum average resource, minimum resource dispersion, maximum specific strength for given geometric and physical-mathematical constraints on the composite parameters are solved. To find optimal solutions, dynamic programming algorithms are used, implemented on circuits (graphs) of sequential selection of a combination of layer materials according to their synergistic properties.

механика разрушениямодели марковских цепейразрушение слоистых материаловнакопление повреждений в слоистых материалахраспространение трещин в слоистых структурахfracture mechanicsMarkov chain modelsfracture of laminated materialsdamage accumulation in laminated materialscracks propagation in laminated structuresReferencesТиханов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тиханов, М. А. Миронов. – М.: Совет. радио, 1977. – 488 с.Tikhanov V. I., Mironov M. A. Markov Processes. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1977. 488 p. (in Russian).Spitzer, F. Principles of Random Walk / F. Spitzer. – Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc., 1964. – 472 p.Spitzer F. Principles of Random Walk. Princeton New Jersey, D. Van Nostrand Company, Inc., 1964. 472 p.Кемени, Дж. Конечные цепи Маркова: пер. с англ. / Дж. Кемени, Дж. Снелл. – М.: Наука, 1970. – 271 с.Kemeny J. G., Snell J. L. Finite Markov Chains. Springer-Verlag, 1960. 238 p.Богданофф, Дж. Вероятностные модели накопления повреждений / Дж. Богданофф, Ф. Козин. – М.: Мир, 1989. – 344 с.Bogdanoff J. L., Kozin F. Probabilistic Models of Cumulative Damage. New York: John Wiley & Sons, 1985. 341 p.Cappelli, M. The evolution of multi-site small cracks under fatigue loading: PhD Thesis / М. Cappelli. – Georgia Institute of Technology, 2007.Cappelli M. The evolution of multi-site small cracks under fatigue loading. PhD Thesis. Georgia Institute of Technology, 2007.Garsted, L. The Fracture Mechanical Markov Chain Fatigue Model Compared with Empirical Data [Electronic Resource] / L. Garsted, R. Brincker, L. P. Hansen. – Aalborg: Dept. of Building and Structural Engineering, Aalborg University, 1994. – Mode of access: https://vbn.aau.dk/ws/portalfiles/portal/204441130/The_Fracture_Mechanical_Markov_Chain_Fatigue_Model_Compared_with_Empirical_Data.pdf.Garsted, L., Brincker R., Hansen L. P. (1994) The Fracture Mechanical Markov Chain Fatigue Model Compared with Empirical Data. Aalborg, Dept. of Building and Structural Engineering, Aalborg University, 1994. Available at: https://vbn.aau.dk/ws/portalfiles/portal/204441130/The_Fracture_Mechanical_Markov_Chain_Fatigue_Model_Compared_with_Empirical_Data.pdf.Garsted, L. Fracture mechanical Markov chain of crack growth model / L. Garsted, R. Brincker, L. P. Hansen // Eng. Fract. Mech. – 1991. – Vol. 38, № 6. – P. 475–489. https://doi.org/10.1016/0013-7944(91)90097-kGarsted L., Brincker R., Hansen L. P. Fracture mechanical Markov chain of crack growth model. Engineering Fracture Mechanics, 1991, vol. 38, no. 6, pp. 475–489. https://doi.org/10.1016/0013-7944(91)90097-kСавельев, Л. Я. Простые стохастические модели трещин / Л. Я. Савельев // Сиб. журн. индустр. математики. – 2014. – Т. 17, № 2 – С. 97–107.Saveliev L. Y. Simple stochastic models of cracks. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2014, vol. 8, pp. 385–394. https://doi.org/10.1134/S1990478914030119Савельев, Л. Я. Марковская модель динамики трещин специального типа / Л. Я. Савельев // Сиб. журн. индустр. математики. – 2018. – Т. 21, № 1 – С. 72–79.Saveliev L. Y. Markov model of crack dynamics of special type. Siberian Journal of Industrial Mathematics, 2018, vol. 12, pp. 145–152. https://doi.org/10.1134/s1990478918010131Wagner, H. M. Principles of Operations Research. Vol. 3 / Н. М. Wagner. – Englewood Cliffs, New Jersey: PrenticeHall. Inc., 1969. – 500 p.Wagner H. M. Principles of Operations Research. Vol. 3. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall. Inc., 1969. 500 p.Пестриков, В. М. Механика разрушения твердых тел / В. М. Пестриков, Е. М. Морозов. – СПб.: Профессия, 2002. – 300 с.Pestrikov V. M., Morozov E. M. Fracture Mechanics of Solids. St. Petersburg, Professiya Publ., 2002. 300 p. (in Russian).Морозов, Е. М. Вариационный принцип в механике разрушения / Е. М. Морозов // Докл. Акад. наук СССР. – 1969. – Т. 184, № 6. – С. 1308–1311.Morozov E. M. Variation Principle in Fracture Mechanics. Doklady academii nauk SSSR [Doklady of the Academy of Sciences of USSR], 1969, vol. 184, no. 6, pp. 1308–1311 (in Russian).Чигарев, А. В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред / А. В. Чигарев. – Минск: Технопринт, 2000. – 426 с.Chigarev A. V. Stochastic and Regular Dynamics of Non-Homogeneous Media. Minsk, Tekhnoprint Publ., 2000. 426 p. (in Russian).Казаков, В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи / В. А. Казаков. – М.: Совет. радио, 1973. – 231 с.Kazakov V. A. Introduction to the Theory of Markov Processes and Some Radio Engineering Tasks. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1973. 231 p. (in Russian).Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций / В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков. – М.: Машиностроение, 1980. – 375 с.Bolotin V. V., Novichkov Yu. N. Mechanics of Multilayer Structures. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1980. 375 p. (in Russian).Черепанов, Г. П. Механика разрушения / Г. П. Черепанов, Л. В. Ершов. – М.: Машиностроение, 1977. – 223 с.Cherepanov G. P., Ershov L. V. Fracture Mechanics. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1977. 223 p. (in Russian).Баничук, Н. Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов / Н. Б. Баничук, В. В. Кобелев, Р. Б. Рикардс. – М.: Машиностроение, 1988. – 224 с.Banichuk N. B., Kobelev V. V., Rickards R. B. Optimization of Structural Elements from Composite Materials. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988. 224 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.