vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2024-60-2-117-131vestifm-779Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSГиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение с квадратичными функциями в коэффициентахHypersingular integro-differential equation with quadratic functions in coefficientsШилинА. П.ShilinA. P.

Шилин Андрей Петрович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и математической физики

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Andrey P. Shilin – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Physics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University202409072024602117131Copyright © Шилин А.П., 20242024Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/779

Исследовано новое линейное интегро-дифференциальное уравнение порядка n ≥ 3, заданное на замкнутой кривой, расположенной в комплексной плоскости. Интегралы в уравнении понимаются в смысле конечной части по Адамару. Характерной особенностью уравнения является наличие в его коэффициентах квадратичных функций специального вида. Уравнение сводится вначале к краевой задаче линейного сопряжения для аналитических функций. В случае ее разрешимости следует далее решать два линейных дифференциальных уравнения в областях комплексной плоскости с некоторыми дополнительными условиями на решение. Явно указаны все условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении искомое решение построено в замкнутой форме. Приведен пример.

A new linear integro-differential equation of order n ≥ 3, given on a closed curve located in the complex plane, is investigated. Integrals in the equation are understood in the sense of the finite part according to Hadamard. A characteristic feature of the equation is the presence of quadratic functions of a special kind in its coefficients. The equation is reduced first to the boundary value problem of linear conjugation for analytical functions. In the case of its solvability, two linear differential equations should be further solved in the domains of the complex plane with some additional conditions for the solution. All conditions for the solvability of the original equation are explicitly specified. When they are executed, the desired solution is constructed in a closed form. An example is given.

интегро-дифференциальное уравнениегиперсингулярный интегралкраевая задача Риманалинейное дифференциальное уравнениеопределительintegro-differential equationhypersingular integralRiemann boundary problemlinear differential equationdeterminantReferencesЗверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.Zverovich E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady Nacionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5–8 (in Russian).Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sohotsky formulas. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіkamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).Шилин, А. П. О решении одного интегро-дифференциального уравнения с сингулярным и гиперсингулярным интегралами / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 298–309. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Shilin A. P. On the solution of one integro-differential equation with singular and hypersingular integrals. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 298–309 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Шилин, А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типа / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 17–29. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equations of the Euler type. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 17–29 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Шилин, А. П. Гиперсингулярные интегро-дифференциальные уравнения со степенными множителями в коэффициентах / А. П. Шилин // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3. – С. 48–56. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56Shilin A. P. Hypersingular integro-differential equation with power factors in coefficients. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 3, pp. 48–56 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Handbook of Ordinary Differential Equations. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. 576 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.