vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2024-60-3-195-202vestifm-794Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО преобразованиях Беклунда стационарных уравнений иерархии второго уравнения ПенлевеOn Bäcklund transformations to stationary equations in hierarchy of the second Painlevé equationГромакВ. И.GromakV. I.

Громак Валерий Иванович – доктор физико-математических наук, профессор, кафедра дифференциальных уравнений и системного анализа

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Valery I. Gromak – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Differential Equations and Systems Analysis

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

vgromak@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University202405102024603195202Copyright © Громак В.И., 20242024Громак В.И.Gromak V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/794

Рассматриваются аналитические свойства решений первых трех стационарных уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве. Для уравнения второго порядка показано, что преобразование Беклунда в общем случае определяет формулу теоремы сложения для эллиптической функции Вейерштрасса. Для уравнений четвертого и шестого порядка построено преобразование Беклунда и специальные классы решений. Установлено, что при некотором соотношении между параметрами множество решений первого члена стационарной иерархии является подмножеством множества решений второго члена, а множество решений второго члена иерархии вкладывается во множество решений уравнения шестого порядка стационарной иерархии второго уравнения Пенлеве.

The analytical properties of solutions to stationary equations of the second and fourth orders in the hierarchy of the second Painlevé equation are considered. For the second-order equation, it is shown that the Bäcklund transformation in the general case determines the formula of the addition theorem for the Weierstrass elliptic function. For the fourth and sixth-order equations, Bäcklund transformations and special classes of solutions are constructed. It has been established that, for a certain relationship between the parameters, the set of solutions to the first term of the stationary hierarchy is a subset of solutions to the second term and the set of solutions to the second term of the hierarchy is a subset of solutions of the six-order equation of the stationary hierarchy of the second Painlevé equation.

уравнения Пенлевепреобразование Беклундаэллиптическая функция Вейерштрассатеорема сложенияPainlevé equationsBäcklund transformationWeierstrass elliptic functionaddition theoremReferencesRogers, C. Backlund Transformation and their Applications / C. Rogers, W. F. Shadwick. – New York; London: Academic Press, 1982. – 334 p.Rogers C., Shadwick W. F. Backlund Transformation and their Applications. Academic Press, New York, London, 1982. 334 p.Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н. А. Кудряшов. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2004. – 360 с.Kudryashov N. A. Analytical Theory of Nonlinear Differential Equations. Moscow, Izhevsk, Institut komp’yuternykh issledovanii Publ., 2004. 360 p. (in Russian).Airault, H. Rational solutions of Painlevé equations / H. Airault // Stud. Appl. Math. – 1979. – Vol. 61, № 1. – P. 31–53. https://doi.org/10.1002/sapm197961131Airault H. Rational solutions of Painlevé equations. Rational Solutions of Painlevé Equations, 1979, vol. 61, no. 1, pp. 31–53. https://doi.org/10.1002/sapm197961131Gromak, V. I. Bäcklund Transformations of Painlevé Equations and Their Applications / V. I. Gromak // The Painlevé Property. One Century Later. – New York: Springer, 1999. – P. 687–734. – (CRM Series in Mathematical Physics). https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1532-5_12Gromak V. I. Bäcklund Transformations of Painlevé Equations and Their Applications. The Painlevé Property. One Century Later. CRM Series in Mathematical Physics. New York, Springer, 1999, pp. 687–734. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1532-5_12Clarkson, P. A. Bäcklund transformations for the second Painlevé hierarchy: a modified truncation approach / P. A. Clarkson, N. Joshi, A. Pickering // Inverse Probl. – 1999. – Vol. 15, № 1. – P. 175–187. https://doi.org/10.1088/0266-5611/15/1/019Clarkson P. A., Joshi N, Pickering A. Bäcklund transformations for the second Painlevé hierarchy: a modified truncation approach. Inverse Problems, 1999, vol. 15, no. 1, pp. 175–187. https://doi.org/10.1088/0266-5611/15/1/019Громак, В. И. О трансцендентности уравнений Пенлеве / В. И. Громак // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 2. – C. 154–160.Gromak V. I. On the transcendence of Painlevé equations. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1996, vol. 32, no. 2, pp. 154–160 (in Russian).Громак, В. И. О трансцендентности пятого и шестого уравнений Пенлеве / В. И. Громак // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 4. – С. 559–561.Gromak V. I. On the transcendence of the fifth and sixth Painlevé equations. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1996, vol. 32, no. 4, pp. 559–561 (in Russian).Громак, В. И. Аналитические свойства решений уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве / В. И. Громак // Дифференц. уравнения. – 2020. – Т. 56, № 8. – С. 1017–1033. https://doi.org/10.1134/S0374064120080038Gromak V. I. Analytic Properties of Solutions to Equations in the Generalized Hierarchy of the Second Painlevé Equation. Differential Equations, 2020, vol. 56, no. 8, pp. 993–1009. https://doi.org/10.1134/S0012266120080030Cosgrove, C. M. Higher-Order Painlevé Equations in the Polynomial Class II: Bureau Symbol P1 / C. M. Cosgrove // Stud. Appl. Math. – 2006. – Vol. 116, № 4. – P. 321–413. https://doi.org/10.1111/j.1467-9590.2006.00346.xCosgrove C. M. Higher-Order Painlevé Equations in the Polynomial Class II: Bureau Symbol P1. Studies in Applied Mathematics, 2006, vol. 116, no. 4, pp. 321–413. https://doi.org/10.1111/j.1467-9590.2006.00346.xГромак, В. И. О преобразованиях Беклунда нелинейных уравнений / В. И. Громак // Дифференц. уравнения. – 1993. – Т. 29, № 6. – C. 1067–1068.Gromak V. I. On Backlund transformations of nonlinear equations. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 6, pp. 1067–1068 (in Russian).Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа: пер. с англ. / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. – 2-е изд. – М.: Физматгиз, 1963. – Ч. 2: Трансцендентные функции. – 515 с.Whittaker E. T., Watson G. T. A Course of Modern Analysis. 5th ed. Cambridge University Press, 2021. 668 p. https://doi.org/10.1017/9781009004091

The authors declare that there are no conflicts of interest present.