vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2024-60-3-216-224vestifm-796Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSЧисленное решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в двумерных областях сложной формыNumerical solution of the mixed boundary value problem for the heat equation in two-dimensional domains of complex shapeЧуйкоМ. М.ChuikoM M.

Чуйко Михаил Матвеевич – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела вычислительной математики

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Mikhail M. Chuiko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Leading Researcher of the Department of Computational Mathematics

11, Surganov Str., 220072, Minsk

amikhail.chuiko@gmail.comКоролёваО. М.KorolyovaO. M.

Королёва Ольга Михайловна – кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры высшей математики

пр. Независимости, 65, 220013, Минск

Olga M. Korolyova – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics

65, Nezalezhnosti Ave., 220013, Minsk

korolyovaola@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусcкий национальный технический университетBelarusian National Technical University202405102024603216224Copyright © Чуйко М.М., Королёва О.М., 20242024Чуйко М.М., Королёва О.М.Chuiko M.M., Korolyova O.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/796

Построен конечно-разностный вычислительный алгоритм решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности, заданной в двумерных областях сложной формы с использованием обобщенных криволинейных координат. Физическая область отображается в расчетную область (единичный квадрат) в пространстве обобщенных координат. Исходная задача записывается в обобщенных криволинейных координатах и аппроксимируется на равномерной сетке в расчетной области. Полученные результаты отображаются на неравномерную разностную сетку, построенную в физической области. Построены аппроксимации второго порядка смешанных краевых условий Неймана – Дирихле. Приведены результаты решения краевых задач в областях сложной формы, подтверждающие второй порядок точности вычислительного алгоритма.

A finite-difference computational algorithm is proposed for solving a mixed boundary value problem for heat equation given in a two-dimensional domains of complex shape. To solve the problem, generalized curvilinear coordinates are used. The physical domain is mapped to the computational domain (unit square) in the space of generalized coordinates. The original problem is written in curvilinear coordinates and approximated on a uniform grid in the computational domain. The obtained results are mapped on a non-uniform boundary-fitted difference grid in the physical domain. The second-order approximations of mixed Neumann – Dirichlet boundary conditions are constructed. The results of computational experiments are presented. The second order of accuracy of the presented computational algorithm is confirmed.

обобщенные криволинейные координатысмешанная краевая задачаконечно-разностные методыразностные схемыgeneralized curvilinear coordinatesmixed boundary value problemfinite-difference methodsdifference schemesReferencesIngram, D. M. Developments in cartesian cut cell methods / D. M. Ingram, D. M. Causon, C. G. Mingham // Math. Comput. Simul. – 2003. – Vol. 61, № 3–6. – P. 561–572. https://doi.org/10.1016/s0378-4754(02)00107-6Ingram D. M., Causon D. M., Mingham C. G. Developments in cartesian cut cell methods. Mathematics and Computers in Simulation, 2003, vol. 61, no. 3–6, pp. 561–572. https://doi.org/10.1016/s0378-4754(02)00107-6Kirkpatrick, M. P. A representation of curved boundaries for the solution of the Navier–Stokes equations on a staggered three-dimensional Cartesian grid / M. P. Kirkpatrick, S. W. Armfield, J. H. Kent // J. Comput. Phys. – 2003. – Vol. 184, № 1. – P. 1–36. https://doi.org/10.1016/s0021-9991(02)00013-xKirkpatrick M. P., Armfield S. W., Kent J. H. A representation of curved boundaries for the solution of the Navier– Stokes equations on a staggered three-dimensional Cartesian grid. Journal of Computational Physics, 2003, vol. 184, no. 1, pp. 1–36. https://doi.org/10.1016/s0021-9991(02)00013-xAn accurate cartesian grid method for viscous incompressible flows with complex immersed boundaries / T. Ye [et al.] // J. Comput. Phys. – 1999. – Vol. 156, № 2. – P. 209–240. https://doi.org/10.1006/jcph.1999.6356Ye T., Mittal R., Udaykumar H. S., Shyy W. An accurate cartesian grid method for viscous incompressible flows with complex immersed boundaries. Journal of Computational Physics, 1999, vol. 156, no. 2, pp. 209–240. https://doi.org/10.1006/jcph.1999.6356Mittal, R. Immersed boundary methods / R. Mittal, G. Iaccarino // Annu. Rev. Fluid Mech. – 2005. – Vol. 37. – P. 239– 261. https://doi.org/10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743Mittal R., Iaccarino G. Immersed boundary methods. Annual Review of Fluid Mechanics, 2005, vol. 37, pp. 239–261. https://doi.org/10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743LeVeque, R. J. The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources / R. J. LeVeque, Z. Li // SIAM J. Numer. Anal. – 1994. – Vol. 31, № 4. – P. 1019–1044. https://doi.org/10.1137/0731054LeVeque R. J., Li Z. The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1994, vol. 31, no. 4, pp. 1019–1044. https://doi.org/10.1137/0731054Li, Z. An overview of the immersed interface method and its applications / Z. Li // Taiwan. J. Math. – 2003. – Vol. 7, № 1. – P. 1–49. https://doi.org/10.11650/twjm/1500407515Li Z. An overview of the immersed interface method and its applications. Taiwanese Journal of Mathematics, 2003, vol. 7, no. 1, pp. 1–49. https://doi.org/10.11650/twjm/1500407515Вабищевич, П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики / П. Н. Вабищевич. – М.: Издво Моск. ун-та, 1991. – 156 c.Vabishchevich P. N. Method of Fictitious Domains in the Problems of Mathematical Physics. Moscow, Moscow University Publishing House, 1991. 156 p. (in Russian).Винников, В. В. Применение декартовых сеток для решения уравнений Навье–Стокса в областях с криволинейными границами / В. В. Винников, Д. Л. Ревизников // Мат. моделирование. – 2005. – Т. 17, № 8. – С. 15–30.Vinnikov V. V., Reviznikov D. L. Cartesian grids methods for numerical solution of Navier-Stokes equations in domains with curvilinear boundaries. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulation, 2005, vol. 17, no. 8, pp. 15–30 (in Russian).Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2 т.: пер. с англ. / К. Флетчер. – М.: Мир, 1991. – T. 2. – 552 c.Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. 2. Berlin, Heidelberg, Springer, 1988. 494 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-97071-9Thompson, J. F. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications / J. F. Thompson, Z. U. A. Warsi, C. W. Mastin. – New York: Elsevier North-Holland, 1985. – 483 p.Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications. New York, Elsevier North-Holland, 1985. 483 p.Mastin, C. W. Error induced by coordinate systems / C. W. Mastin // Appl. Math. Comput. – 1982. – Vol. 10–11. – P. 31–40. https://doi.org/10.1016/0096-3003(82)90186-2Mastin C. W. Error induced by coordinate systems. Applied Mathematics and Computation, 1982, vol. 10–11, pp. 31– 40. https://doi.org/10.1016/0096-3003(82)90186-2Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1997. – 380 с.Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. New York, 2001. 786 p. https://doi.org/10.1201/9780203908518Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 352 с.Samarskii A. A., Andreev V. B. Difference Methods for Elliptic Equations. Moscow, Nauka Publ., 1976. 352 p. (in Russian).Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives / A. Samarskii [et al.] // Comput. Math. Appl. – 2002. – Vol. 44, № 3–4. – P. 501–510. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00164-5Samarskii A., Matus P., Mazhukin V., Mozolevski I. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives. Computers & Mathematics with Applications, 2002, vol. 44, no. 3–4, pp. 501–510. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00164-5Rybak, I. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives / I. Rybak // Math. Model. Anal. – 2004. – Vol. 9, № 2. – P. 169–178. https://doi.org/10.3846/13926292.2004.9637250Rybak I. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives. Mathematical Modelling and Analysis, 2004, vol. 9, pp. 169–178. https://doi.org/10.3846/13926292.2004.9637250Матус, П. П. Разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений со смешанными производными / П. П. Матус, Ле Минь Хиеу, Д. Пылак // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 3. – С. 263–269. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-263-269Matus P. P., Le Minh Hieu, Pylak D. Difference schemes for quasilinear parabolic equations with mixed derivatives. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 3, pp. 263–269 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-263-269Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions / F. J. Gaspar [et al.] // Comput. Meth. Appl. Math. – 2016. – Vol. 16, №.2 – P. 231–244. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002Gaspar F. J., Lisbona F. J., Matus P., Tuyen V. T. K. Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions. Computational Methods in Applied Mathematics, 2016, vol. 16, no. 2, pp. 231–244. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002Чуйко, М. М. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в нерегулярных двумерных областях / М. М. Чуйко, О. М. Королёва // Информатика. – 2023. − Т. 20, № 2. – С. 111–120. https://doi.org/10.37661/1816-0301-2023-20-2-111-120Chuiko M. M., Korolyova O. M. Solution of the mixed boundary problem for the Poisson equation on two-dimensional irregular domains. Informatika = Informatics, 2023, vol. 20, no. 2, pp. 111−120 (in Russian). https://doi.org/10.37661/1816-0301-2023-20-2-111-120Schneider, G. E. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem / G. E. Schneider, M. Zedan // Numer. Heat Transf. – 1981. – Vol. 4, № 1. – P. 1–19. https://doi.org/10.1080/01495728108961775Schneider G. E., Zedan M. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem. Numerical Heat Transfer, 1981, vol. 4, no. 1, pp. 1–19. https://doi.org/10.1080/01495728108961775

The authors declare that there are no conflicts of interest present.