vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-1-7-16vestifm-821Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб оценках равномерных приближений некоторых классов функций рациональным интегральным оператором Фурье – ЧебышёваOn estimates of uniform approximations of some classes of functions by the Fourier – Chebyshev rational integral operatorhttps://orcid.org/0000-0001-7835-0500ПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Поцейко Павел Геннадьевич – кандидат физико- математических наук, доцент, доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Pavel G. Patseika – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

pahamatby@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno202526032025611716Copyright © Поцейко П.Г., 20252025Поцейко П.Г.Patseika P.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/821

Решается задача нахождения новых оценок равномерных приближений рациональным интегральным оператором Фурье – Чебышёва на классах функций Маркова; функций со степенной особенностью; сопряженных функций с плотностью, имеющей степенную особенность; сингулярных интегралов с ядром Коши, весом Чебышёва второго рода и плотностью, имеющей степенную особенность. В ряде случаев найденные оценки имеют более высокий порядок убывания в сравнении с уже известными ранее соответствующими результатами. 

The problem of finding new estimates of uniform approximations by the Fourier – Chebyshev rational integral operator on classes of Markov functions, functions with a power singularity, conjugate functions with a density having a power singularity, and singular integrals with a Cauchy kernel, Chebyshev weight of the second kind and density having a power singularity. In some cases, the estimates found have a greater descending order, in comparison with the previously known corresponding results. 

рациональные интегральные операторы Фурье – Чебышёваравномерные приближенияфункции Марковасопряженные функциисингулярные интегралы с ядром КошиFourier – Chebyshev rational integral operatorsuniform approximationsMarkov functionsconjugate functionssingular integrals with Cauchy kernelАвтор выражает признательность профессору Е. А. Ровбе за ряд полезных замечаний и помощь в работе.The author is grateful to Professor E. A. Rovba for a number of useful comments and assistance in the work.ReferencesРовба, Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба // Доклады Академии наук БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 968–971.Rovba E. A. On one direct method in rational approximation. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1979, vol. 23, no. 11, pp. 968–971 (in Russian).Поцейко, П. Г. Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2020. – № 2. – С. 6–27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Potseiko P. G., Rovba E. A., Smotritskii K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, vol. 2, pp. 6–27 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Поцейко, П. Г. Сопряженный рациональный оператор Фурье – Чебышёва и его аппроксимационные свойства / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Известия вузов. Математика. – 2022. – № 3. – С. 44–60. https://doi.org/10.26907/0021-34462022-3-44-60Potseiko P. G., Rovba Y. A. Conjugate Rational Fourier–Chebyshev Operator and Its Approximation Properties. Russian Mathematics, 2022, vol. 66, pp. 35–49. https://doi.org/10.3103/s1066369x22030094Поцейко, П. Г. Об оценках равномерных приближений рациональными интегральными операторами Фурье – Чебышёва при определенном выборе полюсов / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Математические заметки. – 2023. – Т. 113, вып. 6. – С. 876–894. https://doi.org/10.4213/mzm13621Potseiko P. G., Rovba Y. A. On Estimates of Uniform Approximations by Rational Fourier–Chebyshev Integral Operators for a Certain Choice of Poles. Mathematical Notes, 2023, vol. 113, pp. 815–830. https://doi.org/10.1134/s0001434623050231Поцейко, П. Г. О приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье – Чебышёва / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2024. – Т. 68, № 2. – С. 95–104. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-2-95-104Potsejko P. G., Rovba E. A. On approximations of a singular integral on a segment by Fourier–Chebyshevʼsrational integral operators. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 68, no. 2, pp. 95–104 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-2-95-104Поцейко, П. Г. О приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье – Чебышёва / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Математический сборник. – 2024. – Т. 215, № 7. – С. 96– 137. https://doi.org/10.4213/sm10030Potseiko P. G., Rovba E. A. Approximations of one singular integral on an interval by Fourier–Chebyshev rational integral operators. Sbornik: Mathematics, 2024, vol. 215, iss. 7, pp. 953–992. https://doi.org/10.4213/sm10030eЕвграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. – М.: Наука, 1979. – 320 с.Evgrafov M. A. Asymptotic Estimates and Entire Functions. Moscow, Nauka Publ., 1979, 320 p. (in Russian).Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 544 с.Fedoriuk M. V. Asymptotics. Integrals and Series. Moscow, Main Editorial Board of Physical and Mathematical Literature, 1987. 544 p. (in Russian).Вячеславов, Н. С. О наименьших уклонениях функции sign x и ее первообразных от рациональных функций в метриках Lp, 0 < p ≤ ∞ / Н. С. Вячеславов // Математический сборник. – 1977. – Т. 103 (145), № 1 (5). – С. 24–36.Vjačeslavov N. S. On the least deviations of the function sign x and its primitives from the rational functions in the Lp metrics, 0 < p ≤ ∞. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1977, vol. 103, iss. 1, pp. 19–31. https://doi.org/10.1070/sm1977v-032n01abeh002313Ковалевская, Е. В. Построение экстремальных произведений Бляшке / Е. В. Ковалевская, А. А. Пекарский // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага ўніверсітэта iмя Янкi Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2017. – Т. 7, № 1. – С. 6–14.Kovalevskaya E. V., Pekarskii A. A. Construction of extremal Blaschke products. Vesnik Grodzenskaga dzyarzhaunaga universiteta imya Yanki Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naya tekhnika i kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and Сontrol, 2017, vol. 7, iss. 1, pp. 6–14.Ровба, Е. А. О приближении функции |sin x| рациональными рядами Фурье / Е. А. Ровба // Математические заметки. – 1989. – Т. 46, № 2. – С. 52–59.Rovba E. A. An approximation of |sin x| by rational Fourier series. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1989, vol. 46, pp. 788–794. https://doi.org/10.1007/BF01158146Ровба, Е. А. О рациональной интерполяции функции |x|α по расширенной системе узлов Чебышёва – Маркова / Е. А. Ровба, В. Ю. Медведева // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусi. Серыя фiзіка-матэматычных навук. – 2019. – Т. 55, № 4. – С. 391–405. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405Rovba Y. A., Medvedeva V. Ju. Rational interpolation of the function |x|α by an extended system of Chebyshev – Markov nodes. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 391–405 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405Andersson, J. E. Best rational approximation to Markov functions / J. E. Andersson // Journal of Approximation Theory. – 1994. – Vol. 76, iss. 2. – P. 219–232. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1015Andersson J. E. Best rational approximation to Markov functions. Journal of Approximation Theory, 1994, vol. 76, iss. 2, pp. 219–232. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1015Пекарский, А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова / А. А. Пекарский // Алгебра и анализ. – 1995. – Т. 7, вып. 2. – С. 121–132.Pekarskii A. A. Best uniform rational approximations of Markov functions. Algebra i analiz = St. Petersburg Mathematical Journal, 1996, vol. 7, iss. 2, pp. 277–285.Пекарский, А. А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций / А. А. Пекарский, Е. А. Ровба // Математические заметки. – 1999. – Т. 65, вып. 3. – С. 362–368.Pekarskii A. A., Rovba E. A. Uniform approximations of Stieltjes functions by orthogonal projection on the set of rational functions. Mathematical Notes, 1999, vol. 65, no. 3, pp. 302–307. https://doi.org/10.1007/bf02675071Джрбашян, М. М. Об одном обобщении полиномов Чебышёва / М. М. Джрбашян, А. А. Китбалян // Доклады Академии наук Армянской ССР. – 1964. – Т. 38, № 5. – С. 263–270.Dzhrbashyan M. M., Kitbalyan A. A. On one generalization of Chebyshev polynomials. Doklady Akademii nauk Armyanskoi SSR [Doklady of the Academy of Sciences of the Armenian SSR], 1964, vol. 38, iss. 5, pp. 263–270 (in Russian).Мардвилко, Т. С. Равномерная рациональная аппроксимация нечетного и четного преобразований Коши / Т. С. Мардвилко // Математический сборник. – 2025. – Т. 216, № 2. – С. 110–127. https://doi.org/10.4213/sm10116Mardvilko T. S. Uniform rational approximation of odd and even Cauchy transforms. Sbornik: Mathematics, 2025, vol. 216, iss. 2, pp. 110–127. https://doi.org/10.4213/sm10116Newman, D. I. Rational approximation to |x| / D. I. Newman // Michigan Mathematical Journal. – 1964. – Vol. 11, iss. 1. – P. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029Newman D. I. Rational approximation to |x|. Michigan Mathematical Journal, 1964, vol. 11, iss. 1, pp. 11–14. https:// doi.org/10.1307/mmj/1028999029Stahl, H. Best uniform rational approximation of xα on [0, 1] / H. Stahl // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1993. – Vol. 28. – P. 116–122. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Stahl H. Best uniform rational approximation of xα on [0, 1]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1993, vol. 28, pp. 116–122. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Бернштейн, С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть 1 / С. Н. Бернштейн. – М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит., 1937. – 200 с.Bernshtein S. N. Extremal Properties of Polynomials and Best Approximation of Continuous Functions of One Real Variable. Part 1. Moscow, Leningrad, Main Editorial Board of General Technical Literature, 1937. 200 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.