vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-1-23-33vestifm-823Research ArticleФИЗИКАPHYSICSВекторные пучки бесселева типа с квадратурным соотношением фаз электрического и магнитного полейVector Bessel-like beams with quadrature phases of electric and magnetic fieldshttps://orcid.org/0000-0001-5550-1708ХилоН. А.KhiloN. A.

Хило Николай Анатольевич – кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник

пр. Независимости, 68-2, 220072, Минск

Nikolai A. Khilo – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Leading Researcher

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

n.khilo@dragon.bas-net.byhttps://orcid.org/0000-0002-7543-3682БелыйВ. Н.BelyiV. N.

Белый Владимир Николаевич – академик Национальной академии наук Беларуси, доктор физико- математических наук, заведующий центром «Диагностические системы»

пр. Независимости, 68-2, 220072, Минск

Vladimir N. Belyi – Academician of the National Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Head of the Center “Diagnostic systems”

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

v.belyi@dragon.bas-net.byИнститут физики имени Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus2025260320256112333Copyright © Хило Н.А., Белый В.Н., 20252025Хило Н.А., Белый В.Н.Khilo N.A., Belyi V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/823

Рассмотрены особенности распространения векторных пучков Бесселя – Гаусса (БГ), отличительной чертой которых является квадратурное соотношение фаз электрического и магнитного полей. Выражение для векторных пучков БГ получены на основе общего подхода в виде линейной суперпозиции известных точных решений уравнений Максвелла. Путем подбора весовой функции суперпозиции найдены формулы для всех компонент электрического и магнитного поля БГ пучка, а также выражения для квадратичных функций поля, таких как линейная плотность энергии, импульса и момента импульса по направлению распространения пучка. Рассмотрен важный частный случай, когда весовые функции суперпозиции не зависят от азимутального модового индекса m вихревого пучка. Для этого случая найдено выражение для отношения линейной плотности момента импульса к линейной плотности энергии БГ пучка с квадратурным соотношением фаз электрического и магнитного полей. Из полученного выражения следует, что линейная плотность момента импульса на один фотон для непараксиального пучка значительно отличается от величины ћ(m + 1) для больших углов конуса (порядка нескольких десятков градусов). Данный результат важен, в частности, для корректной оценки углового момента поля на основе измерений фотоприемниками с прямым детектированием азимутального индекса m, которые разрабатываются в последнее время. Также показано, что при увеличении угла конуса БГ пучка его поляризация отличается от круговой, а продольная компонента возрастает. При этом функциональная зависимость поперечных и продольной компонент от радиальной координаты различная. Полученные результаты важны при разработке компактных элементов систем оптической связи, микроскопии, лазерных твизеров и др.

The peculiarities of propagation of vector Bessel – Gaussian (BG) beams, the distinguishing feature of which is the quadrature of phases of electric and magnetic fields, are considered. The expression for vector BG beams is obtained on the basis of common approach in a form of linear superposition of known accurate solutions of the Maxwell equations. By selection of weight function of superposition there are found the equations for all components of electric and magnetic field of the BG beam, and also expressions for square field functions, such as linear density of energy, pulse and pulse moments along the direction of beam propagation. The particular case is considered when weight functions of the superposition do not depend on azimuthal mode index m of the vortex beam. For this case the expression is found for the ratio of linear density of the pulse moment to linear density of BG beam energy with a quadrature of electric and magnetic fields. From the equation obtained it follows that linear density of the pulse moment per one photon for non-paraxial beams essentially differs from the value ћ(m + 1) for large cone angles (of about several tens of degrees). Particularly, this result is important for the correct estimation of angular momentum of the field on the basis of measurement by the photoreceivers with direct detection of azimuthal index m, which are being developed in the recent time. It is also shown that when increasing the cone angle of BG beam its polarization differs from angular one, and the longitudinal component increases. Here the functional dependence of transverse and longitudinal components on radial coordinate is different. The obtained results are important when developing compact elements for the optical communication systems, microscopy, laser tweezers and others.

непараксиальные пучки Бесселя – Гауссаугловой орбитальный моментдислокации волнового фронтаnon-paraxial Bessel – Gaussian beamsangular orbital momentumwavefront dislocationReferencesDorn, R. Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam / R. Dorn, S. Quabis, G. Leuchs // Physical Review Letters. – 2003. – Vol. 91, № 23. – P. 233901. https://doi.org/10.1103/physrevlett.91.233901Dorn, R. Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam / R. Dorn, S. Quabis, G. Leuchs // Physical Review Letters. – 2003. – Vol. 91, № 23. – P. 233901. https://doi.org/10.1103/physrevlett.91.233901Youngworth, K. S. Focusing of high numerical aperture cylindrical-vector beams / K. S. Youngworth, T. G. Brown // Optics Express. – 2000. – Vol. 7, № 2. – P. 77–87. https://doi.org/10.1364/oe.7.000077Youngworth, K. S. Focusing of high numerical aperture cylindrical-vector beams / K. S. Youngworth, T. G. Brown // Optics Express. – 2000. – Vol. 7, № 2. – P. 77–87. https://doi.org/10.1364/oe.7.000077Zhan, Q. Focus shaping using cylindrical vector beams / Q. Zhan, J. R. Leger // Optics Express. – 2002. – Vol. 10, № 7. – P. 324–331. https://doi.org/10.1364/oe.10.000324Zhan, Q. Focus shaping using cylindrical vector beams / Q. Zhan, J. R. Leger // Optics Express. – 2002. – Vol. 10, № 7. – P. 324–331. https://doi.org/10.1364/oe.10.000324Madhi, D. Cylindrically polarized Bessel–Gauss beams / D. Madhi, M. Ornigotti, A. Aiello // Journal of Optics. – 2015. – Vol. 17, № 2. – P. 025603. https://doi.org/10.1088/2040-8978/17/2/025603Madhi, D. Cylindrically polarized Bessel–Gauss beams / D. Madhi, M. Ornigotti, A. Aiello // Journal of Optics. – 2015. – Vol. 17, № 2. – P. 025603. https://doi.org/10.1088/2040-8978/17/2/025603Ultra-secure optical encryption based on tightly focused perfect optical vortex beams / Q. Yang, Z. Xie, M. Zhang [et al.] // Nanophotonics. – 2022. – Vol. 11, № 5. – P. 1063–1070. https://doi.org/10.1515/nanoph-2021-0786Ultra-secure optical encryption based on tightly focused perfect optical vortex beams / Q. Yang, Z. Xie, M. Zhang [et al.] // Nanophotonics. – 2022. – Vol. 11, № 5. – P. 1063–1070. https://doi.org/10.1515/nanoph-2021-0786Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen, M. W. Beijersbergen, R. J. Spreeuw, J. P. Woerdman // Physical Review A. – 1992. – Vol. 45, № 11. – P. 8185–8189. https://doi.org/10.1103/physreva.45.8185Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen, M. W. Beijersbergen, R. J. Spreeuw, J. P. Woerdman // Physical Review A. – 1992. – Vol. 45, № 11. – P. 8185–8189. https://doi.org/10.1103/physreva.45.8185Allen, L. The orbital angular momentum of light / L. Allen, M. J. Padgett, M. Babiker // Progress in Optics. – Amsterdam: Elsevier, 1999. – Vol. 39. – P. 291–372. https://doi.org/10.1016/S0079-6638(08)70391-3Allen, L. The orbital angular momentum of light / L. Allen, M. J. Padgett, M. Babiker // Progress in Optics. – Amsterdam: Elsevier, 1999. – Vol. 39. – P. 291–372. https://doi.org/10.1016/S0079-6638(08)70391-3Free-Space Information Transfer Using Light Beams Carrying Orbital Angular Momentum / G. Gibson, J. Courtial, M. J. Padgett [et al.] // Optics Express. – 2004. – Vol. 12, № 22. – P. 5448−5456. https://doi.org/10.1364/opex.12.005448Free-Space Information Transfer Using Light Beams Carrying Orbital Angular Momentum / G. Gibson, J. Courtial, M. J. Padgett [et al.] // Optics Express. – 2004. – Vol. 12, № 22. – P. 5448−5456. https://doi.org/10.1364/opex.12.005448Optical communications using orbital angular momentum beams / A. E. Willner, H. Huang, Y. Yan [et al.] // Advances in Optics and Photonics. – 2015. – Vol. 7, № 1. – P. 66–106. https://doi.org/10.1364/AOP.7.000066Optical communications using orbital angular momentum beams / A. E. Willner, H. Huang, Y. Yan [et al.] // Advances in Optics and Photonics. – 2015. – Vol. 7, № 1. – P. 66–106. https://doi.org/10.1364/AOP.7.000066Twisted light transmission over 143 km / M. Krenn, J. Handsteiner, M. Fink [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 2016. – Vol. 113, № 48. – P. 13648–13653. https://doi.org/10.1073/pnas.1612023113Twisted light transmission over 143 km / M. Krenn, J. Handsteiner, M. Fink [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 2016. – Vol. 113, № 48. – P. 13648–13653. https://doi.org/10.1073/pnas.1612023113Barnett, S. M. Orbital angular momentum and nonparaxial light beams / S. M. Barnett, L. Allen // Optics Communications. – 1994. – Vol. 110, № 5–6. – P. 670–678. https://doi.org/10.1016/0030-4018(94)90269-0Barnett, S. M. Orbital angular momentum and nonparaxial light beams / S. M. Barnett, L. Allen // Optics Communications. – 1994. – Vol. 110, № 5–6. – P. 670–678. https://doi.org/10.1016/0030-4018(94)90269-0Barnett, S. M. Optical angular-momentum flux* / S. M. Barnett // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. – 2002. – Vol. 4, № 2. – P. S7. https://doi.org/10.1088/1464-4266/4/2/361Barnett, S. M. Optical angular-momentum flux* / S. M. Barnett // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. – 2002. – Vol. 4, № 2. – P. S7. https://doi.org/10.1088/1464-4266/4/2/361Orbital angular momentum of a high-order Bessel light beam / K. Volke-Sepulveda, V. Garcés-Chávez, S. ChávezCerda [et al.] // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. – 2002. – Vol. 4, № 2. – P. S82. https://doi.org/10.1088/1464-4266/4/2/373Orbital angular momentum of a high-order Bessel light beam / K. Volke-Sepulveda, V. Garcés-Chávez, S. ChávezCerda [et al.] // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. – 2002. – Vol. 4, № 2. – P. S82. https://doi.org/10.1088/1464-4266/4/2/373Bouchal, Z. Non-diffractive vector Bessel beams / Z. Bouchal, M. Olivik J. // Journal of Modern Optics. – 1995. – Vol. 42, № 8. – P. 1555. https://doi.org/10.1080/09500349514551361Bouchal, Z. Non-diffractive vector Bessel beams / Z. Bouchal, M. Olivik J. // Journal of Modern Optics. – 1995. – Vol. 42, № 8. – P. 1555. https://doi.org/10.1080/09500349514551361Khilo, N. A. Diffraction and order conversion of Bessel beams in uniaxial crystals / N. A. Khilo // Optics Communications. – 2012. – Vol. 285, № 5. – P. 503–509. https://doi.org/10.1016/j.optcom.2011.11.014Khilo, N. A. Diffraction and order conversion of Bessel beams in uniaxial crystals / N. A. Khilo // Optics Communications. – 2012. – Vol. 285, № 5. – P. 503–509. https://doi.org/10.1016/j.optcom.2011.11.014Lekner, J. Invariants of three types of generalized Bessel beams / J. Lekner // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. – 2004. – Vol. 6. – P. 837. https://doi.org/10.1088/1464-4258/6/9/004Lekner, J. Invariants of three types of generalized Bessel beams / J. Lekner // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. – 2004. – Vol. 6. – P. 837. https://doi.org/10.1088/1464-4258/6/9/004Photocurrent detection of the orbital angular momentum of light / Zh. Ji, W. Liu, S. Krylyuk [et al.] // Science. – 2020. – Vol. 368, № 6492. – P. 763–767. https://doi.org/10.1126/science.aba9192Photocurrent detection of the orbital angular momentum of light / Zh. Ji, W. Liu, S. Krylyuk [et al.] // Science. – 2020. – Vol. 368, № 6492. – P. 763–767. https://doi.org/10.1126/science.aba9192On-chip photodetection of angular momentums of vortex structured light / M. Dai, C. Wang, F. Sun, Q. J. Wang // Nature Communications. – 2024. – Vol. 15. – P. 5396. https://doi.org/10.1038/s41467-024-49855-0On-chip photodetection of angular momentums of vortex structured light / M. Dai, C. Wang, F. Sun, Q. J. Wang // Nature Communications. – 2024. – Vol. 15. – P. 5396. https://doi.org/10.1038/s41467-024-49855-0

The authors declare that there are no conflicts of interest present.