vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-2-95-105vestifm-835Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSЛевоинвариантные метрические f-структуры на трехмерных разрешимых группах ЛиLeft-invariant metric f-structures on three-dimensional sol vable Lie groupsБалащенкоВ. В.BalashchenkoV. V.

Балащенко Виталий Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Vitaly V. Balashchenko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Geometry, Topology and Methods of Teaching Mathematics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

vitaly.balashchenko@gmail.comКуницаВ. Н.KunitsaV. N.

Куница Виктория Николаевна – аспирант, кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Victoria N. Kunitsa – Postgraduate Student, Department of Geometry, Topology and Methods of Teaching Mathematics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

vikakunica@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University20251107202561295105Copyright © Балащенко В.В., Куница В.Н., 20252025Балащенко В.В., Куница В.Н.Balashchenko V.V., Kunitsa V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/835

Исследуются трехмерные разрешимые группы Ли с точки зрения обобщенной эрмитовой геометрии. Соответствующие трехмерные разрешимые алгебры Ли впервые были классифицированы Г. М. Мубаракзянов ым в 1963 г. Используя классификацию в несколько иных обозначениях, мы строим базовые левоинвариантные метрические f-структуры ранга 2 на всех трехмерных разрешимых группах Ли, снабженных стандартной левоинвариантной римановой метрикой. Доказано, что все рассмотренные f-структуры принадлежат одному или нескольким классам обобщенных почти эрмитовых структур. В результате это дает возможность предъявить новые примеры левоинвариантных киллинговых, приближенно келеровых, обобщенных приближенно келеровых и эрмитовых f-структур на разрешимых группах Ли. 

In the paper, we investigate three-dimensional solvable Lie groups from the point of view of the generalized Hermitian geometry. The corresponding three-dimensional solvable Lie algebras were firstly classified by G. M. Mubarakzyanov in 1963. Using the classification in somewhat different notations, we construct basic left-invariant metric f-structures of rank 2 on all three-dimensional solvable Lie groups equipped with the standard left-invariant Riemannian metric. It was proved that all the considered f-structures belong to one or several classes of generalized almost Hermitian structures. As a result, it gives the opportunity to present new examples of left-invariant Killling, nearly Kähler, generalized nearly Kähler and Hermitian f-structures on solvable Lie groups.

разрешимая группа Лиразрешимая алгебра Лилевоинвариантная метрическая f-структураприближенно келерова f-структураэрмитова f-структураобобщенная эрмитова геометрияsolvable Lie groupsolvable Lie algebraleft-invariant metric f-structurenearly Kähler f-structureHermitian f-structuregeneralized Hermitian geometryРабота выполнена при частичной финансовой поддержке Государственной программы научных исследований на 2021–2025 годы «Конвергенция-2025», подпрограмма «Математические модели и методы», НИР «Структуры на линейных алгебраических группах, обобщенных главных G-расслоениях, однородных многообразиях и группах Ли» (№ гос. регистрации 20211882).ReferencesYano, K. On a structure defined by a tensor field f of type (1, 1) satisfying f 3 + f = 0 / K. Yano // North-Holland Mathematics Studies. – 1982. – Vol. 70. – P. 251–261. https://doi.org/10.1016/s0304-0208(08)72251-5Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type (1,1) satisfying f 3 + f = 0. North-Holland Mathematics Studies, 1982, vol. 70, pp. 251–261. https://doi.org/10.1016/s0304-0208(08)72251-5Кириченко, В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры / В. Ф. Кириченко // Известия АН СССР. Серия математическая. – 1983 – Т. 47, № 6. – С. 1208–1223.Kirichenko V. F. Quasihomogeneous manifolds and generalized almost Hermite structures. Mathematics of the USSR– Izvestiya, 1984, vol. 23, no. 3, pp. 473–486.Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий / В. Ф. Ки риченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – 1986. – Т. 18. – С. 25–71.Kirichenko V. F. Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of almost contact manifolds. Journal of Soviet Mathematics, 1988, vol. 42, no. 5, pp. 1885–1919. https://doi.org/10.1007/BF01094419Кириченко, В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. – М.: МПГУ, 2003. – 495 с.Kirichenko V. F. Differential-Geometric Structures on Manifolds. Moscow, Moscow City University, 2003. 495 p. (in Russian).Степанов, Н. А. Основные факты теории φ-пространств / Н. А. Степанов // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 3. – С. 88–95.Stepanov N. A. Basic facts of the theory of φ-spaces. Izvestiya vuzov. Matematika = Soviet Mathematics (Iz. VUZ), 1967, no. 3, pp. 88–95 (in Russian).Wolf, J. A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms / J. A. Wolf, A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1968. – Vol. 2, № 1. – P. 77–114. https://doi.org/10.4310/jdg/1214501139Wolf J. A., Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms. Journal of Differential Geometry, 1968, vol. 2, no. 1, pp. 77–114. https://doi.org/10.4310/jdg/1214501139Феденко, А. С. Пространства с симметриями / А. С. Феденко. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 168 с.Fedenko A. S. Spaces with Symmetries. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004. 168 p. (in Russian).Ковальский, О. Обобщенные симметрические пространства / О. Ковальский. – М.: Мир, 1984. – 240 с.Kowalski O. Generalized Symmetric Spaces. Berlin, Springer-Verlag, 1980. 187 p. https://doi.org/10.1007/bfb0103325Степанов, Н. А. Однородные 3-циклические пространства / Н. А. Степанов // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 12. – С. 65–74.Stepanov N. A. Homogeneous 3-cyclic spaces. Izvestiya vuzov. Matematika = Soviet Mathematics (Iz. VUZ), 1967, no. 12, pp. 65–74 (in Russian).Gray, A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3 / A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1972. – Vol. 7, № 3–4. – P. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3. Journal of Differential Geometry, 1972, vol. 7, no. 3–4, pp. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159Балащенко, В. В. Канонические аффинорные структуры классического типа на регулярных Φ-пространствах / В. В. Балащенко, Н. А. Степанов // Математический сборник. – 1995. – Т. 186, № 11. – С. 3–34.Balashchenko V. V., Stepanov N. A. Canonical affinor structures of classical type on regular Φ-spaces. Sbor nik: Mathematics, Sbornik: Mathematics, 1995, vol. 186, no. 11, pp. 1551–1580. https://doi.org/10.1070/SM1995v186n11ABEH000083Балащенко, В. В. Естественно редуктивные киллинговы f-многообразия / В. В. Балащенко // Успехи математических наук. – 1999. – Т. 54, № 3. – С. 151–152.Balashchenko V. V. Naturally reductive Killing f-manifolds. Russian Mathematical Surveys, 1999, vol. 54, no. 3, pp. 623–625. https://doi.org/10.1070/rm1999v054n03ABEH000155Балащенко, В. В. Однородные эрмитовы f-многообразия / В. В. Балащенко // Успехи математических наук. – 2001. – Т. 56, № 3. – С. 159–160.Balashchenko V. V. Homogeneous Hermitian f-manifolds. Russian Mathematical Surveys, 2001, vol. 56, no. 3, pp. 575–577. https://doi.org/10.1070/RM2001v056n03ABEH000401Балащенко, В. В. Однородные приближенно келеровы f-многообразия / В. В. Балащенко // Доклады РАН. – 2001. – Т. 376, № 4. – С. 439–441.Balashchenko V. V. Homogeneous Nearly Kähler f-Manifolds. Doklady Mathematics, 2001, vol. 63, no. 1, pp. 56–58.Balashchenko, V. V. Invariant nearly Kähler f-structures on homogeneous spaces / V. V. Balashchenko // Global Differential Geometry: The Mathematical Legacy of Alfred Gray. – 2001. – Vol. 288. – P. 263–267. https://doi.org/10.1090/conm/288/04831Balashchenko V. V. Invariant nearly Kähler f-structures on homogeneous spaces. Global Differential Geometry: The Mathematical Legacy of Alfred Gray, 2001, vol. 288, pp. 263–267. https://doi.org/10.1090/conm/288/04831Балащенко, В. В. Обобщенная эрмитова геометрия на однородных Φ-пространствах конечного порядка / В. В. Балащенко, Д. В. Вылегжанин // Известия вузов. Математика. – 2004. – № 10. – С. 33–44.Balashchenko V. V., Vylegzhanin, D. V. Generalized Hermitian geometry on homogeneous Φ-spaces of finite order. Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2004, vol. 48, no. 10, pp. 30–40.Балащенко, В. В. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных k-симметрических пространствах / В. В. Балащенко, А. С. Самсонов // Доклады РАН. – 2010. – Т. 432, № 3. – С. 295–298.Balashchenko V. V., Samsonov A. S. Nearly Kähler and Hermitian f-structures on homogeneous k-symmetric spaces. Doklady Mathematics, 2010, vol. 81, no. 3, pp. 386– 389. https://doi.org/10.1134/s1064562410030130Самсонов, А. С. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных Φ-пространствах порядка k в случае специальных метрик / А. С. Самсонов // Сибирский математический журнал. – 2011. – Т. 52, № 6. – С. 1373–1388.Samsonov A. S. Nearly Kähler and Hermitian f-structures on homogeneous Φ-spaces of order k with special metrics. Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, no. 6, pp. 1373–1388. https://doi.org/10.1134/s0037446611060140Клепиков, П. Н. Трехмерные неунимодулярные группы Ли с римановой метрикой инвариантного солитона Риччи и полусимметрической метрической связностью / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова // Известия вузов. Математика. – 2022. – № 5. – С. 80–85. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2022-5-80-85Klepikov P. N., Rodionov E. D., Khromova O. P. Three-dimensional nonunimodular Lie groups with a Riemannian metric of an invariant Ricci soliton and a semi-symmetric metric connection. Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2022, vol. 66, no. 5, pp. 65–69.Клепиков, П. Н. Уравнение Эйнштейна на трехмерных метрических группах Ли с векторным кручением / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2020. – Т. 181, №. 1. – С. 41–53. https://doi.org/10.36535/0233-6723-2020-181-41-53Klepikov P. N., Rodionov E. D., Khromova O. P. Einstein’s equation on three-dimensional metric Lie groups with vector torsion. Proceedings of the International Conference. Journal of Mathematical Sciences, 2023, vol. 276, pp. 733–745. https://doi.org/10.1007/s10958-023-06796-1Хромова, О. П. О симметрических потоках Риччи полусимметрических связностей на трехмерных метрических группах Ли / О. П. Хромова, В. В. Балащенко // Известия Алтайского государственного университета. – 2023. – № 1. – С. 141–144.Khromova O. P., Balashchenko V. V. Symmetric Ricci flows of semisymmetric connections on three-dimensional metrical Lie groups: An Analysis. Izvestiya Altaiskogo gosudarstvennogo universiteta = Izvestiya of Altai State University, 2023, no. 1, pp. 141–144 (in Russin).Stong, R. E. The rank of an f-structure / R. E. Stong // Kodai Mathematical Seminar Reports. – 1977. – Vol. 29, № 1–2. – P. 207–209. https://doi.org/10.2996/kmj/1138833583Stong R. E. The rank of an f-structure. Kodai Mathematical Seminar Reports, 1977, vol. 29, no. 1–2, pp. 207–209. https://doi.org/10.2996/kmj/1138833583Яно, К. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях / К. Яно, М. Кон. – М.: Наука, 1990. – 189 с.Yano K., Kon M. CR Submanifolds of Kaehlerian and Sasakian Manifolds. Boston, Birkhäuser, 1983. 208 p. https:// doi.org/10.1007/978-1-4684-9424-2Singh, K. D. Some f(3,ε) structure manifolds / K. D. Singh, Singh Rakeshwar // Demonstratio Mathematica. – 1977. – Vol. 10, № 3–4. – P. 637–645. https://doi.org/10.1515/dema-1977-3-411Singh K. D., Singh Rakeshwar. Some f(3,ε) structure manifolds. Demonstratio Mathematica, 1977, vol. 10, no. 3–4, pp. 637–645. https://doi.org/10.1515/dema-1977-3-411Грицанс, А. С. О геометрии киллинговых f-многообразий / А. С. Грицанс // Успехи математических наук. – 1990. – Т. 45, № 4. – С. 149–150.Gritsans A. S. On the geometry of Killing ff-manifolds. Russian Mathematical Surveys, 1990, vol. 45 no. 4, pp. 168–169. https://doi.org/10.1070/RM1990v045n04ABEH002365Грицанс, А. С. О строении киллинговых f-многообразий / А. С. Грицанс // Известия вузов. Математика. – 1992. – № 6. – С. 49–57.Gritsans A. S. On construction of Killing f-manifolds. Russian Mathematics (Iz. VUZ), 1992, vol. 36, no. 6, pp. 46–54.Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants / A Gray, L. M. Hervella // Annali di Matematica Pura ed Applicata. – 1980. – Vol. 123. – P. 35–58. https://doi.org/10.1007/bf01796539Gray A., Hervella L. M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1980, vol. 123, pp. 35–58. https://doi.org/10.1007/bf01796539Gray, A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3 / A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1972. – Vol. 7, № 3–4. – P. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3. Journal of Differential Geometry, 1972, vol. 7, no. 3–4, pp. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. – М.: Наука, 1981. – Т. 2. – 415 с.Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of differential geometry. Vol. 2. Moscow, Nauka Publ., 1981. 414 p.Балащенко, В. В. Инвариантные f-структуры на естественно редуктивных однородных пространствах / В. В. Балащенко // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 4. – С. 3–15.Balashchenko V. V. Invariant f-structures on naturally reductive homogeneous spaces. Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2008, vol. 52, no. 4, pp. 1–12.Balashchenko, V. V. Invariant structures on the 6-dimensional generalized Heisenberg group / V. V. Balashchenko // Kragujevac Journal of Mathematics. – 2011. – Vol. 35, № 2. – P. 209–222.Balashchenko V. V. Invariant structures on the 6-dimensional generalized Heisenberg group. Kragujevac Journal of Mathematics, 2011, vol. 35, no. 2, pp. 209–222.Балащенко, В. В. Левоинвариантные f-структуры на 5-мерной группе Гейзенберга H(2,1) / В. В. Балащенко, П. А. Дубовик // Вестник БГУ. Серия 1. Математика и информатика. – 2013. – № 3. – С. 112–117.Balashchenko V. V., Dubovik P. A. Left-invariant f-structures on the 5-dimensional Heisenberg group H(2,1). Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika = Bulletin of the Belarusian State University. Series 1, Physics. Mathematics. Informatics, 2013, no. 3, pp. 112–117 (in Russian)Дубовик, П. А. Эрмитовы f-структуры на 6-мерных филиформных группах Ли / П. А. Дубовик // Известия вузов. Математика. – 2016. – № 7. – С. 34–43.Dubovik P. A. Hermitian f-structures on 6-dimensional filiform Lie groups. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2016, vol. 60, iss. 7, pp. 29–36. https://doi.org/10.3103/S1066369X16070057Мубаракзянов, Г. М. О разрешимых алгебрах Ли / Г. М. Мубаракзянов // Известия вузов. Математика. – 1963. – Т. 32, № 1. – С. 114–129.Mubarakzjanov G. M. On solvable Lie algebras. Izvestiya vuzov. Matematika = Soviet Mathematics (Iz. VUZ), 1963, no. 1, pp. 114–123.Product structures on four dimensional solvable Lie algebras / A. Andrada, M. L. Barberis, I. G. Dotti, G. P. Ovando // Homology, Homotopy and Applications. – 2005. – Vol. 7, № 1. – P. 9–37. https://doi.org/10.4310/hha.2005.v7.n1.a2Andrada A., Barberis M. L., Dotti L. G., Ovando G. P. Product structures on four dimensional solvable Lie algebras. Homology, Homotopy and Applications, 2005, vol. 7, no. 1, pp. 9–37. https://doi.org/10.4310/hha.2005.v7.n1.a2

The authors declare that there are no conflicts of interest present.