vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-3-195-202vestifm-849Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО вычислении моментов решений одного класса линейных СДУ Скорохода на пространстве ПуассонаOn calculation of moments of the solutions to one class of linear Skorohod SDE on Poisson spaceЕгоровА. Д.EgorovA. D.

Егоров Александр Дмитриевич – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Alexandr D. Egorov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

egorov@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202514102025613195202Copyright © Егоров А.Д., 20252025Егоров А.Д.Egorov A.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/849

Известное представление решения линейного стохастического дифференциального уравнения Скорохода на пространстве Пуассона со случайными коэффициентами и начальным условием содержит в качестве неизвестного параметра семейство преобразований вероятностного пространства ведущего случайного процесса, определяемого решением интегрального стохастического уравнения. В работе рассматриваются случаи, когда решение этого интегрального уравнения может быть найдено в явном виде. Получены явные решения в двух случаях в классе линейных уравнений Скорохода на пространстве Пуассона со случайными коэффициентами и начальным условием, линейно зависящими от времени первого скачка ведущего процесса. Оцениваются первые три момента решения исходных СДУ и приводится численный пример. Полученные формулы вычисления моментов решения СДУ Скорохода с ведущим процессом Пуассона могут быть использованы при построении приближенных формул для вычисления математических ожиданий нелинейных функционалов от решения, аналогичных рассмотренным ранее для уравнений Скорохода с ведущим винеровским процессом. 

The known representation of the solution of the linear stochastic differential equation of Skorohod on Poisson space with random coefficients and an initial condition contains as an unknown parameter a family of transformations of the probability space of the leading random process determined by the solution of the integral stochastic equation. In this paper, we consider cases when the solution of this integral equation can be found in explicit form. Explicit solutions are obtained in two cases in the class of linear Skorohod equations on Poisson space with random coefficients and an initial condition linearly dependent on the time of the first jump of the leading process. The first three moments of the solution of the original SDEs are estimated and a numerical example is given. The obtained formulas for calculating the moments of the solution of Skorohod SDE with the leading Poisson process can be used in constructing approximate formulas for calculating the mathematical expectations of nonlinear functionals of the solution, similar to those considered earlier for Skorohod equations with the leading Wiener process.

стохастические дифференциальные уравненияпространство Пуассонауравнения Скороходамоменты решенийприближенные вычисленияstochastic differential equationsSkorohod equationsPoisson spacemoments of solutionsapproximate evaluationReferencesPrivault, N. Linear Skorohod stochastic differential equations on Poisson space / N. Privault // Stochastic Analysis and Related Topics V / eds.: Körezlioğlu H., Øksendal B., Üstünel A. S. Stochastic. – Boston: Birkhäuser, 1996 – P. 237–253. – (Progress in Probability; vol 38). https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2450-1_12Privault N. Linear Skorohod stochastic differential equations on Poisson space. Körezlioğlu H., Øksendal B., Üstünel A. S. (eds). Stochastic Analysis and Related Topics V. Progress in Probability, vol. 38. Boston, Birkhäuser, 1996, pp. 237– 253. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2450-1_12Privault, N. Hypothesis testing and Skorohod stochastic integration / N. Privault // Journal of Applied Probability. – 2000. – Vol. 37, № 2. – P. 560–574. https://doi.org/10.1239/jap/1014842559Privault N. Hypothesis testing and Skorohod stochastic integration. Journal of Applied Probability, 2000, vol. 37, no. 2, pp. 560–574. https://doi.org/10.1239/jap/1014842559Privault, N. Chaotic and variational calculus in discrete and continuous time for the Poisson processes / N. Privault // Stochastics and Stochastics Reports. – 1994. – Vol. 51, № 1–2. – P. 83–109. https://doi.org/10.1080/17442509408833946Privault N. Chaotic and variational calculus in discrete and continuous time for the Poisson processes. Stochastics and Stochastics Reports, 1991, vol. 51, no. 1–2, pp. 83–109. https://doi.org/10.1080/17442509408833946Егоров, А. Д. Приближенные формулы для вычисления математического ожидания функционалов от решения линейного уравнения Скорохода / А. Д. Егоров // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2021. – Т. 57, № 2. – С. 198–205. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-198-205Egorov A. D. Approximate formulas for the evaluation of the mathematical expectation of functionals from the solution to the linear Skorohod equation. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 2, pp. 198–205 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-198-205Egorov, A. D. On the calculation of functionals from the solution to linear SDE with first-order chaos in coefficients / A. D. Egorov // Computer Data Analysis and Modeling: Stochastic and Data Science: Proceedings of the XIII International Conference, Minsk, Sept. 6–10, 2022. – Minsk, 2022. – P. 26–30.Egorov A. D. On the calculation of functionals from the solution to linear SDE with first-order chaos in coefficients. Computer Data Analysis and Modeling: Stochastic and Data Science. Proceedings of the XIII International Conference, Minsk, Sept. 6–10, 2022. Minsk, 2022, pp. 26–30.Егоров, А. Д. О вычислении функционалов от решения линейного СДУ Скорохода с хаосом первого порядка в коэффициентах / А. Д. Егоров // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2023. – Т. 59, № 3. – С. 201–212. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2023-59-3-201-212Egorov A. D. On the calculation of functionals from the solution of the linear Skorohod SDE with first-order chaos in the coefficients. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2023, vol. 59, no. 3, pp. 201–212 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2023-59-3-201-212

The authors declare that there are no conflicts of interest present.