Муха Владимир Степанович – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информационных технологий автоматизированных систем
ул. П. Бровки, 6, 220013, Минск
Vladimir S. Mukha – Dr. Sc. (Engineering), Professor, Professor of the Department of Information Technologies of Automated Systems
6, P. Brovka Str., 220013, Minsk
Исследуется ортогональный регрессионный анализ, связанный с представлением функции регрессии рядом Фурье по многомерно-матричным ортогональным полиномам, в противоположность обычному регрессионному анализу, когда функция регрессии аппроксимируется обычными полиномами (степенями независимой входной переменной). Будем различать классический регрессионный анализ, когда используются скалярный или, возможно, классический векторно-матричный математический подходы, и многомерно-матричный регрессионный анализ, когда используются многомерно-матричные переменные и многомерно-матричный математический подход. В статье разрабатывается ортогональный регрессионный анализ на основе ортогональных полиномов и многомерно-матричного математического подхода, так называемый ортогональный многомерно-матричный полиномиальный регрессионный анализ. Известные результаты теории ортогональных многомерно-матричных полиномов и рядов Фурье векторного аргумента обобщаются на случай многомерно-матричных аргумента и функции. Получены аналитические выражения коэффициентов ортогональных полиномов и рядов Фурье до второй степени для возможных аналитических исследований. Программно реализован общий случай аппроксимации многомерно-матричной функции многомерно-матричного аргумента рядами Фурье в виде единичной программной функции, и ее эффективность подтверждена компьютерными расчетами. Изучены свойства коэффициентов регрессии и неизвестных параметров и их распределения при нормальном распределении ошибок измерений с произвольной ковариационной матрицей для произвольных степеней аппроксимирующих полиномов. Полученные результаты позволяют проверять гипотезы и строить гиперпрямоугольные доверительные интервалы, относящиеся к функции регрессии. Теоретические результаты подтверждены компьютерным моделированием.
The article is devoted to the orthogonal regression analysis, which is associated with the representation of the regression function by Fourier series by the multidimensional-matrix (mdm) orthogonal polynomials, in opposite to the (usual) regression analysis, when the regression function is approximated by the (usual) polynomial (by the degrees of the independent mdm input variable). We will also distinguish the classical regression analysis, when the scalar or might the classical vector-matrix mathematical approaches are used, and the mdm regression analysis, when the mdm variables and the mdm mathematical approach are used. In this article, the orthogonal regression analysis is developed on the base of the orthogonal polynomials and the mdm mathematical approach, so called the mdm orthogonal polynomial regression analysis. The known results from the theory of the orthogonal mdm polynomials and Fourier series of the vector argument are generalized to the case of the mdm argument and function. The analytical expressions for the coefficients of the second degree orthogonal polynomials and Fourier series for the potential studies are obtained. The general case of the approximation of the mdm function of the mdm argument by the Fourier series is realized programmatically as the single program function and its efficiency is confirmed by the computer calculations. The properties of the estimations of regression coefficients and unknown parameters are studied and their distributions when the normal distribution of the measurement’s errors are obtained for the arbitrary covariance matrix of the errors of measurements and the arbitrary degree of the approximating polynomial. These results allow testing the hypothesis and building the hyper-rectangular confidence areas relating the orthogonal regression function. Theoretical results are confirmed by computer simulation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.