vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-4-271-287vestifm-861Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО σ-локальных классах конечных группOn σ-local classes of finite groupshttps://orcid.org/0000-0003-0682-3107СафоновВ. Г.SafonovV. G.

Сафонов Василий Григорьевич – доктор физико-математических наук, профессор

ул. Сур­ганова, 11, 220072, Минск 

Vasily G. Safonov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

vgsafonov@im.bas-net.byhttps://orcid.org/0000-0001-6896-7208СафоноваИ. Н.SafonovaI. N.

Сафонова Инна Николаевна – кандидат физико-математических наук, доцент

пр. Независимости, 4, 220030, Минск 

Inna N. Safonova – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

in.safonova@mail.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202506012026614271287Copyright © Сафонов В.Г., Сафонова И.Н., 20262026Сафонов В.Г., Сафонова И.Н.Safonov V.G., Safonova I.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/861

Для различных разбиений множества P всех простых чисел исследуются свойства обобщенно локальных классов (формаций, классов Фиттинга) конечных групп. Доказаны критерии σ-локальности α-локального класса групп, где σ и α – некоторые различные разбиения множества P. Изучены свойства произведений обобщенно локальных классов, а также их алгебр. Для σ-разрешимого σ-локального класса получены достаточные условия коммутативности порожденной им σ-алгебры.

For various partitions of the set P of all prime numbers, properties of generalized local classes (formations, Fitting classes) of finite groups are investigated. Criteria for σ-locality of an α-local class of groups are proved, where σ and α are some distinct partitions of P. Properties of products of generalized local classes, as well as their algebras, are studied. For a σ-soluble σ-local class, sufficient conditions for the commutativity of the σ-algebra generated by it are obtained.

конечная группаσ-локальная формацияσ-локальный класс Фиттингаσ-алгебра формацийσ-алгебра классов Фиттингаполугруппа классов группfinite groupσ-local formationσ-local Fitting classσ-algebra of formationsσ-algebra of Fitting classessemigroup of classes of groupsИсследования выполнены при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект № Ф23РНФ-237).ReferencesШеметков, Л. A. Формации алгебраических систем / Л. A. Шеметков, А. Н. Скиба. – М.: Наука, 1989. – 255 c.Shemetkov L. A., Skiba A. N. Formations of algebraic systems. Moscow: Nauka Publ., 1989. 255 p. (in Russian).Скиба, А. Н. Алгебра формаций / A. Н. Скиба. – Мн.: Бел. навука, 1997. – 240 c.Skiba A. N. Algebra of formations. Minsk: Belaruskaya navuka Publ., 1997. 240 p. (in Russian).Doerk, K. Finite Soluble Groups / K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p. https://doi.org/10.1515/9783110870138Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1992. 891 p. https://doi.org/10.1515/9783110870138Skiba, A. N. On σ-properties of finite groups I / A. N. Skiba // Проблемы физики, математики и техники. – 2014. – № 4. – С. 89–96.Skiba A. N. On σ-properties of finite groups I. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Ma­ thematics and Technics, 2014, no. 4, pp. 89–96.Skiba, A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups / A. N. Skiba // Journal of Algebra. – 2015. – Vol. 436. – P. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010Skiba A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups. Journal of Algebra, 2015, vol. 436, pp. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010Skiba, A. N. On one generalization of the local formations / A. N. Skiba // Проблемы физики, математики и техники. – 2018. – № 1. – P. 79–82.Skiba A. N. On one generalization of the local formations. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2018, no. 1, pp. 79–82.Чи, З. О Σtσ -замкнутых классах конечных групп / З. Чи, А. Н. Скиба // Украинский математический журнал. – 2018. – Т. 70, № 12. – С. 1707–1716. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Chi Z., Skiba A. N. On Σtσ -closed classes of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2018, vol. 70, no. 12, pp. 1966–1977. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Chi, Z. A generalization of Kramer’s theory / Z. Chi, A. N. Skiba // Acta Mathematica Hungarica. – 2019. – Vol. 158, № 1. – P. 87–99. https://doi.org/10.1007/s10474-018-00902-5Chi Z., Skiba A. N. A generalization of Kramer’s theory. Acta Mathematica Hungarica, 2019, vol. 158, no. 1, pp. 87– 99. https://doi.org/10.1007/s10474-018-00902-5Chi, Z. On one application of the theory of n-multiply σ-local formations of finite groups / Z. Chi, V. G. Safonov, A. N. Skiba // Проблемы физики, математики и техники. – 2018. – № 2. – С. 85–88.Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On one application of the theory of n-multiply σ-local formations of finite groups. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2018, no. 2, pp. 85–88.Chi, Z. On n-multiply σ-local formations of finite groups / Z. Chi, V. G. Safonov, A. N. Skiba // Communications in Algebra. – 2019. – Vol. 47, № 3. – P. 957–968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On n-multiply σ-local formations of finite. Communications in Algebra, 2019, vol. 47, no. 3, pp. 957–968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875Шеметков, Л. A. Формации конечных групп / Л. A. Шеметков. – М.: Наука, 1978. – 271 с.Shemetkov L. A. Formations of Finite Groups. Moscow, Nauka Publ., 1978. 271 p. (in Russian).Kramer, O. U. Endliche Gruppen mit Untergruppen mit paarweise teilerfremden Indizes / O. U. Kramer // Mathematische Zeitschrift. – 1974. – Vol. 139. – P. 63–68. https://doi.org/10.1007/bf01194145Kramer O. U. Endliche Gruppen mit Untergruppen mit paarweise teilerfremden Indizes. Mathematische Zeitschrift, 1974, vol. 139, pp. 63–68. https://doi.org/10.1007/bf01194145Tsarev, A. Laws of the lattices of σ-local formations of finite groups / A. Tsarev // Mediterranean Journal of Mathematics. – 2020. – Vol. 17, № 3. – Art. ID 75. https://doi.org/10.1007/s00009-020-01510-wTsarev A. Laws of the lattices of σ-local formations of finite groups. Mediterranean Journal of Mathematics, 2020, vol. 17, no. 3, art. ID 75. https://doi.org/10.1007/s00009-020-01510-wSafonova, I. N. On some properties of the lattice of totally σ-local formations of finite groups / I. N. Safonova, V. G. Sa­ fonov // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2020. – № 3. – С. 6–16. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-3-6-16Safonova I. N., Safonov V. G. On some properties of the lattice of totally σ-local formations of finite groups. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, no. 3, pp. 6–16. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-3-6-16Воробьев, Н. Н. О прямых разложениях кратно σ-локальных формаций / Н. Н. Воробьев, И. И. Стаселько, А. О. Ходжагулыев // Веснік Віцебскага дзяржаўнага ўніверсітэта. – 2020. –№ 3. – С. 10–13.Vorob’ev N. N., Staselko I. I., Hojagulyyev A. O. On direct decompositions of multiply σ-local formations. Vesnіk Vіtsebskaga Dzyarzhaўnaga Unіversіteta, 2020, vol. 3, no. 108, pp. 10–13 (in Russian).Воробьев, Н. Н. Отделимые решетки кратно σ-локальных формаций / Н. Н. Воробьев, И. И. Стаселько, А. О. Ходжагулыев // Сибирский математический журнал. – 2021. – Т. 62, № 4. – С. 721–735. https://doi.org/10.33048/smzh.2021.62.402Vorob’ev N. N., Stasel’ko I. I., Hojagulyyev A. O. Separated lattices of multiply σ-local formations. Siberian Mathematical Journal, 2021, vol. 62, no. 4, pp. 586–597. https://doi.org/10.1134/S0037446621040029Сафонова, И. Н. О минимальных σ-локальных не-H-формациях конечных групп / И. Н. Сафонова // Проблемы физики, математики и техники. – 2020. – № 4 (45). – С. 105–112.Safonova I. N. On minimal σ-local non-H-formations of finite groups. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2020, no. 4 (45), pp. 105–112 (in Russian).Safonova, I. N. Some properties of n-multiply σ-local formations of finite groups / I. N. Safonova // Asian-European Journal of Mathematics. – 2022. – Vol. 15, № 7. – Art. ID 2250138. https://doi.org/10.1142/S1793557122501388Safonova I. N. Some properties of n-multiply σ-local formations of finite groups. Asian-European Journal of Mathematics, 2022, vol. 15, no. 7, art. ID 2250138. https://doi.org/10.1142/S1793557122501388Safonova, I. N. A criterion for σ-locality of a non-empty formation / I. N. Safonova // Communications in Algebra. – 2022. – Vol. 50, № 6. – P. 2366–2376. https://doi.org/10.1080/00927872.2021.2006210Safonova I. N. A criterion for σ-locality of a non-empty formation. Communications in Algebra, 2022, vol. 50, no. 6, pp. 2366–2376. https://doi.org/10.1080/00927872.2021.2006210Safonova, I. N. On properties of the lattice of all τ-closed n-multiply σ-local formations / I. N. Safonova // Communications in Algebra. – 2023. – Vol. 51, № 10. – P. 4454–4461. https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2210678Safonova I. N. On properties of the lattice of all τ-closed n-multiply σ-local formations. Communications in Algebra, 2023, vol. 51, no. 10, pp. 4454–4461. https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2210678Сафонова, И. Н. О критических σ-локальных формациях конечных групп / И. Н. Сафонова // Труды Института математики. – 2023. – Т. 31, № 2. – С. 63–80.Safonova I. N. On critical σ-local formations of finite groups. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2023, vol. 31, no. 2, pp. 63–80 (in Russian).Safonova, I. N. On σ-inductive lattices of n-multiply σ-local formations of finite groups / I. N. Safonova // Journal of Algebra and Its Applications. – 2024. – Vol. 23, № 1. – Art. ID 2450017. https://doi.org/10.1142/S0219498824500178Safonova I. N. On σ-inductive lattices of n-multiply σ-local formations of finite groups. Journal of Algebra and Its Applications, 2024, vol. 23, no. 1, art. ID 2450017. https://doi.org/10.1142/S0219498824500178Safonova, I. N. On the τ-closedness of n-multiply σ-local formation / I. N. Safonova // Advances in Group Theory and Applications. – 2024. – Vol. 18. – P. 123–136. https://doi.org/10.32037/agta-2024-005Safonova I. N. On the τ-closedness of n-multiply σ-local formation. Advances in Group Theory and Applications, 2024, vol. 18, pp. 123–136. https://doi.org/10.32037/agta-2024-005Safonova, I. N. On separability of the lattice of τ-closed n-multiply σ-local formations / I. N. Safonova // Com­ munications in Algebra. – 2024. – Vol. 52, № 2. – P. 3309–3318. https://doi.org/10.1080/00927872.2024.2317458Safonova I. N. On separability of the lattice of τ-closed n-multiply σ-local formations. Communications in Algebra, 2024, vol. 52, no. 2, pp. 3309–3318. https://doi.org/10.1080/00927872.2024.2317458Сафонова, И. Н. О n-кратной σ-локальности непустой τ-замкнутой формации конечных групп / И. Н. Са­ фонова // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2024. – Т. 32, № 1. – С. 32–38.Safonova I. N. On n-multiply σ-locality of a nonempty τ-closed formation of finite groups. Trudy Instituta matematiki Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 32, no. 1, pp. 32–38 (in Russian).Сафонова, И. Н. О σ-локальных формациях конечных групп с ограниченным Hσ-дефектом / И. Н. Сафонова, В. В. Скрундь // Проблемы физики, математики и техники. – 2025. – №1 (62). – С. 87–101.Safonova I. N., Skrundz V. V. On σ-local formations of finite groups with bounded Hσ-defect. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2025, no. 1 (62), pp. 87–101 (in Russian).Safonova, I. N. On the largest τ-closed subclass of an n-multiply σ-local formation / I. N. Safonova, V. V. Skrundz // Communications in Algebra. – 2025, 28 Aug. (Published online). https://doi.org/10.1080/00927872.2025.2547696Safonova I. N., Skrund V. V. On the largest τ-closed subclass of an n-multiply σ-local formation. Communications in Algebra. Published online: 28 Aug 2025. https://doi.org/10.1080/00927872.2025.2547696Сафонова, И. Н. О Hστ -критических формациях конечных групп / И. Н. Сафонова, В. В. Скрундь // Проблемы физики, математики и техники. – 2025. – № 3 (64). – С. 99–111.Safonova I. N., Skrund V. V. On Hστ -critical formations of finite groups. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2025, no. 3 (64), pp. 99–111 (in Russian).Сафонова, И. Н. Минимальные τ-замкнутые σ-локальные не H-формации конечных групп / И. Н. Сафонова, В. В. Скрундь // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2025. – Т. 69, № 5. – С. 359–366. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2025-69-5-359-366Safonova I. N., Skrund V. V. Minimal τ-closed σ-local non-H-formations of finite groups. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2025, vol. 69, no. 5, pp. 359–366 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2025-69-5-359-366Guo, W. On σ-local Fitting classes / W. Guo, L. Zhang, N. T. Vorob’ev // Journal of Algebra. – 2020. – Vol. 542. – P. 116–129. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.10.009Guo W., Zhang L., Vorob’ev N. T. On σ-local Fitting classes. Journal of Algebra, 2020, vol. 542, pp. 116–129. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.10.009Воробьев, Н. Н. Об индуктивности решетки σ-локальных классов Фиттинга / Н. Н. Воробьев, И. И. Стаселько // Математические заметки. – 2025. – Т. 117, № 6. – P. 849–860.Vorob’ev N. N., Staselka I. I. Inductivity of the Lattice of σ-Local Fitting Classes. Mathematical Notes, 2025, vol. 117, no. 6, pp. 939–949. https://doi.org/10.1134/S0001434625602965Tsarev, A. Classes of monoids with applications: formations of languages and multiply local formations of finite groups / A. Tsarev, A. Kukharev // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Series 2. – 2021. – Vol. 70, № 3. – P. 1257– 1268. https://doi.org/10.1007/s12215-020-00556-9Tsarev A., Kukharev A. Classes of monoids with applications: formations of languages and multiply local formations of finite groups. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Series 2, 2021, vol. 70, no. 3, pp. 1257–1268. https://doi.org/10.1007/s12215-020-00556-9Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L. M. Ezquerro. – Dordrecht: Springer, 2006. – 385 p. https://doi.org/10.1007/1-4020-4719-3Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of Finite Groups. Dordrecht, Springer, 2006. 385 p. https://doi.org/10.1007/1-4020-4719-3On finite Sylow tower and σ-tower groups / J. Cai, I. N. Safonova, A. N. Skiba, Z. Wang // Quaestiones Mathematicae. – 2023. – Vol. 46, № 9. – P. 1799–1813. https://doi.org/10.2989/16073606.2022.2120840Cai J., Safonova I. N., Skiba A. N., Wang Z. On finite Sylow tower and σ-tower groups. Quaestiones Mathematicae, 2023, vol. 46, no. 9, pp. 1799–1813. https://doi.org/10.2989/16073606.2022.2120840Zhang, Ch. On Σtσ -closed classes of finite groups / Ch. Zhang, A. N. Skiba // Ukrainian Mathematical Journal. – 2019. – Vol. 70. – P. 1966–1977. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Zhang Ch., Skiba A. N. On Σtσ-closed classes of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2019, vol. 70, pp. 1966–1977. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Мальцев, А. И. Об умножении классов алгебраических систем / А. И. Мальцев // Сибирский математический журнал. – 1967. – Т. 8, № 2. – С. 346–365.Mal’tsev A. I. On the multiplication of classes of algebraic systems. Sibirskii matematicheskii zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 1967, vol. 8, no. 2, pp. 346–365 (in Russian).Сафонов, В. Г. О коммутативных полугруппах разрешимых тотально ω-насыщенных формаций / В. Г. Са­фонов, И. Н. Сафонова // Проблемы физики, математики и техники. – 2015. – № 4 (25). – С. 80–86.Safonov V. G. Safonova I. N. On commutative semigroups of soluble totally ω-saturated formations. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2015, no. 4 (25), pp. 80–86 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.