vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2025-61-4-288-298vestifm-862Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение смешанной задачи для уравнения колебания струны с линейными дифференциальными полиномами в граничных условияхClassical solution of the mixed problem for the string oscillation equation with linear differential polynomials in boundary conditionshttps://orcid.org/0000-0001-6839-7997СтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

Столярчук Иван Игоревич – кандидат физико-математических наук

ул. Кульман, 9, 220100, Минск

Ivan I. Stolyarchuk – Ph. D. (Physics and Mathematics) 

9, Kulman Str., 220100, Minsk 

stolyarchuk.ivan.i@gmail.comООО «Нэкстсофт»Nextsoft Ltd.202506012026614288298Copyright © Столярчук И.И., 20262026Столярчук И.И.Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/862

Исследовано доказательство корректности постановки смешанной задачи для уравнения колебания струны в полуполосе с дифференциальными полиномами в граничных условиях. Для данной задачи выводятся условия существования единственного достаточно гладкого решения в полуполосе в целом. Показано, что она сводится к решению задач Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Изучены случаи, когда гладкость решения задачи с ростом времени ухудшается и когда этого не происходит. Для обоих случаев выведены достаточные условия ухудшения (сохранения) гладкости, основанные на коэффициентах граничных условий. Также с помощью метода характеристик выведены необходимые и достаточные условия согласования на исходные данные при заданной гладкости исходных функций, при которых существует единственное классическое решение поставленной задачи. Полученные результаты приведены как для однородного исходного уравнения, так и для случая, когда исходное уравнение является неоднородным.

The proof of the well-posedness of the mixed problem for the string oscillation equation in the half-strip with differential polynoms in the boundary conditions. The conditions of the existence of the unique and smooth enough solution are obtained in the half strip in general. It is shown that it is reduced to the solution of the initial-value problems for the ordinary linear differential equations with variable coefficients. The case when the solution smoothness is reduced during the increasing of the time and the case when it doesn’t happen are studied. For both cases the sufficient conditions for smooth reduction (conservation) are obtained. These conditions are based on the coefficients in boundary conditions. Also, with the help of the characteristics method the necessary and sufficient matching conditions are obtained. These conditions guarantee the existence and uniqueness of the classical solution of the given problem when given functions are smooth enough. The obtained results are given for both homogeneous initial equation and inhomogeneous one.

уравнение колебания струныметод характеристикдифференциальный полиномклассическое решениесмешанная задачаусловия согласованияstring oscillation equationcharacteristics methoddifferential polynomialsclassical solutionmixed problemmatching conditionsReferencesКорзюк, В. И. Решение задачи Коши гиперболического уравнения для однородного дифференциального оператора в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Доклады Национальной академии наук Беларуcи. – 2011. – Т. 55, № 5. – С. 9–13.Korzyuk V. I., Kozlovskay I. S. Solution of the Cauchy problem of a hyperbolic equation with a homogeneous differential operator in the case of two independent variables. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2011, vol. 55, no. 5, pp. 9–13 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для одномерного волнового уравнения с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, С. И. Пузырный // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2016. – Т. 52, № 2. – С. 22–31.Korzyuk V. I., Pyzirnii S. I. Classical solution of mixed problems for one-dimensional wave equation with non-smooth Cauchy conditions. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, vol. 52, no. 2, pp. 22–31 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задача в полуполосе для линейного гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Труды Института математики. – 2012. – Т. 20, № 2. – С. 64–74.Korzyuk V. I., Cheb E. S., Karpechyna A. A. Classical solution of the first mixed problem in a half-strip for a second order linear hyperbolic equation Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2012, vol. 20, no. 2. pp. 64–74 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 391–403. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the half-strip with curve derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 391–403 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – C. 7–21. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with characteristic oblique derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 7–21 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Staliarchuk, I. The classical solution of the mixed problem for the second-order hyperbolic equation with high order derivatives in boundary conditions / I. Staliarchuk // Global and Stochastic Analysis. – 2018. – Vol. 5, № 1. – P. 57–65.Staliarchuk I. The classical solution of the mixed problem for the second-order hyperbolic equation with high order derivatives in boundary conditions. Global and Stochastic Analysis, 2018, vol. 5, no. 1. pp. 57–65.Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения с производными высокого порядка в граничных условиях / В. И. Корзюк, С. Н. Наумовец // Доклады Национальной академии наук Беларуcи. – 2016. – Т. 60, № 3. – С. 11–17.Korzyuk V. I., Naumavets S. N. Classical solution of a mixed problem for a one-dimensional wave equation with high-order derivatives in the boundary conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of t he National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 3, pp . 11–17 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Труды Института математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – C. 54–70.Korzyuk V. I. Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with the unlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018, vol. 26, no. 1, pp. 56– 72 (in Russian).Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Ленанд, 2021. – 479 с.Korzyuk V. I. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow: Lenand Publ., 2021. 479 p. (in Russian).Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1967. – 565 с.Matveev N. M. Methods of Integration of Ordinary Differential Equations. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1967. 565 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.