vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2026-62-1-7-14vestifm-871Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО существовании Hτ σ -критических формаций конечных группOn the existence of H 𝜏σ -critical formations of finite groupsСкрундьВ. В.SkrundzV. V.

Скрундь Валентина Викторовна – аспирант кафедры высшей алгебры и защиты информации

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Valentina V. Skrundz – Postgraduate Student of the Department of Higher Algebra and Information Security

Nezavisimosti Ave., 4, 220030, Minsk

vallik@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6896-7208СафоноваИ. Н.SafonovaI. N.

Сафонова Инна Николаевна – доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей алгебры и защиты информации

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Inna N. Safonova – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Professor of the Department of Higher Algebra and Information Security

Nezavisimosti Ave., 4, 220030, Minsk

safonova@bsu.byБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202631032026621714Copyright © Скрундь В.В., Сафонова И.Н., 20262026Скрундь В.В., Сафонова И.Н.Skrundz V.V., Safonova I.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/871

Изучены 𝜏-замкнутые σ-локальные формации конечных групп, где σ – некоторое разбиение множества всех простых чисел, 𝜏 – произвольный подгрупповой функтор. Исследован вопрос существования  H𝜏σ -критических формаций, т. е. таких 𝜏-замкнутых σ-локальных формаций L H ⊆ , у которых все собственные 𝜏-замкнутые σ-локальные подформации содержатся в классе групп H. Доказано, что если H – σ-локальная формация классического типа, то у всякой 𝜏-замкнутой σ-локальной формации F  ⊆ H существует по меньшей мере одна  H 𝜏σ -критическая подформация.

The 𝜏 -closed σ-local formations of finite groups are studied, where σ is some partition of the set of all primes, 𝜏  is an arbitrary subgroup functor. The question of the existence of 𝜏  Hσ -critical formations is investigated, i. e., such 𝜏 -closed σ-local formations L H ⊆ for which all proper 𝜏 -closed σ-local subformations are contained in the class of groups H. It is proved that if H is a σ-local formation of classical type, then every 𝜏 -closed σ-local formation F H ⊆ has at least one  H𝜏 σ - critical subformation.

конечная группаподгрупповой функторτ-замкнутая формацияформационная σ-функцияσ-локальная формациякритическая σ-локальная формацияформация классического типаfinite groupsubgroup functorτ-closed formationformation σ-functionσ-local formationcritical σ-local formationformation of classical typeИсследования выполнены в рамках задания Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025» при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь (проект 20211328).The research was carried out in the framework of the State Program of Scientific Research “Convergence – 2025” with financial support of the Ministry of Education of the Republic of Belarus (project 20211328).ReferencesГолубев, В. В. Лекции по теории крыла / В. В. Голубев. – М.: Наука, 1949. – 480 с.Golubev V. V. Lectures on Wing Theory. Moscow, Nauka Publ., 1949. 480 p. (in Russian).Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения уравнения теории крыла / Б. Г. Габдулхаев // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1974. – № 2. – С. 29–44.Gabdulkhaev B. G. Direct methods for solving the equation of wing theory. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika = Russian Mathematics, 1974, no. 2, pp. 29–44 (in Russian).Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев: Наукова думка, 1968. – 287 с.Ivanov V. V. Theory of Approximate Methods and its Application to the Numerical Solution of Singular Integral Equations. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1968. 287 p. (in Russian).Elliott, D. A сomprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc (−1,1) / D. Elliott // The Journal of Integral Equations and Applications. – 1989. – Vol. 2, № 1. – P. 59–94. https://doi.org/10.1216/jie1989-2-1-59Elliott D. A comprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc (−1,1). The Journal of Integral Equations and Applications, 1989, vol. 2, no. 1, pp. 59–94. https://doi.org/10.1216/jie-1989-2-1-59Sahlan, M. N. Operational matrices of Chebyshev polynomials for solving singular Volterra integral equations / M. N. Sahlan, H. Feyzollahzadeh // Mathematical Sciences. – 2017. – Vol. 11, № 2. – P. 165–171. https://doi.org/10.1007/s40096-017-0222-4Sahlan M. N., Feyzollahzadeh H. Operational matrices of Chebyshev polynomials for solving singular Volterra integral equations. Mathematical Sciences, 2017, vol. 11, no. 2, pp. 165–171. https://doi.org/10.1007/s40096-017-0222-4Расолько, Г. А. Численное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 3. – С. 68–74.Rasolko G. A. Numerical solution of singular integro-differential Prandtl equation by the method of orthogonal polynomials. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2018, no. 3, pp. 68–74 (in Russian).Расолько, Г. А. К численному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2019. – № 1. – С. 58–68. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-58-68Rasolko G. A. To the numerical solution of singular integro-differential Prandtl equation by the method of orthogonal polynomials. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 1, pp. 58–68 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-58-68Расолько, Г. А. Об одном методе численного решения некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / Г. А. Расолько, С. М. Шешко, М. А. Шешко // Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55, № 9. – С. 1285–1292. https://doi.org/10.1134/S0374064119090115Rasolko G. A., Sheshko S. M., Sheshko M. A. Numerical Method for Some Singular Integro-Differential Equations. Differential Equations, 2019. vol. 55, no. 9, pp. 1242–1249. https://doi.org/10.1134/S0012266119090118Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М.: Наука, 1973. – 297 с.Bateman G., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Moscow, Nauka Publ., 1973. 297 p. (in Russian).Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 513 с.Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 513 p. (in Russian).Rasolko, G. A. Chebyshev spectral method for one class of singular integro-differential equations / G. A. Rasolko, V. M. Volkov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2025. – Vol. 65, № 2. – Р. 339–348. https://doi.org/10.1134/s0965542524701963Rasolko G. A., Volkov V. M. Chebyshev spectral method for one class of singular integro-differential equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2025, vol. 65, no. 2, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s0965542524701963Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский. – М.: Наука, 1983. – 384 c.Pashkovsky S. Computational Applications of Chebyshev Polynomials and Series. Moscow, Nauka Publ., 1983. 384 p. (in Russian).Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1989. – 543 с.Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow, Nauka Publ., 1989. 543 p. (in Russian).Ожегова, А. В. О сходимости в интегральной метрике приближенных решений обобщенного уравнения теории крыла / А. В. Ожегова, Л. А. Сурай // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. – 2014. – № 1. – С. 64–67.Ozhegova A. V., Surai L. A. On the convergence in the integral metric of approximate solutions of the generalized equation of wing theory. Vestnik KGTU im. A. N. Tupoleva = Bulletin of KSTU named after A. N. Tupolev, 2014. no. 1, pp. 64–67.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.