vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2026-62-1-15-26vestifm-872Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПрямой спектральный метод Чебышева для решения обобщенного уравнения крылаDirect spectral Chebyshev method for solving the generalized wing equationhttps://orcid.org/0000-0002-4055-7343РасолькоГ. А.RasolkoG. A.

Расолько Галина Алексеевна  – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Galina A. Rasolka – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of Web-Technologies and Computer Simulation Department

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

rasolka@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0003-0350-4186ВолковВ. М.VolkovV. M.

Волков Василий Михайлович – доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Vasily M. Volkov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

volkov@tut.byhttps://orcid.org/0000-0002-8029-1842ИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

Игнатенко Марина Викторовна  – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой веб-технологий и компьютерного моделирования

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Marina V. Ignatenko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of Web-Technologies and Computer Simulation Department

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

ignatenkomv@bsu.byБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarusИнститут математики Национальной академии наук БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarus2026310320266211526Copyright © Расолько Г.А., Волков В.М., Игнатенко М.В., 20262026Расолько Г.А., Волков В.М., Игнатенко М.В.Rasolko G.A., Volkov V.M., Ignatenko M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/872

Рассмотрено обобщенное интегро-дифференциальное уравнение Прандтля, в котором сингулярные интегралы содержат как искомое решение, так и его производную. Для решения данной задачи построены прямые численные методы, основанные на представлении решения и переменных коэффициентов уравнения в виде интерполяционных многочленов Чебышева. Развитый подход, использующий известные спектральные соотношения, позволяет получить аналитические выражения для сингулярной составляющей задачи и сводит ее решение к системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов интерполяционного многочлена. Построены две вычислительных схемы решения с использованием полиномов Чебышева первого и второго рода соответственно. На примере модельной задачи показано, что обе схемы обеспечивают хорошую обусловленность алгебраической задачи и обладают высокой точностью, демонстрируя экспоненциальную скорость сходимости погрешности.

The generalized Prandtl integro-differential equation is considered, in which the singular integrals contain both the unknown solution and its derivative. Direct numerical methods for solving this problem are constructed, based on representing the solution and the variable coefficients of the equation in the form of Chebyshev interpolation polynomials. The developed approach, which utilizes known spectral relations, makes it possible to obtain analytical expressions for the singular component of the problem and reduces its solution to a system of linear algebraic equations for the coefficients of the interpolation polynomial. Two computational schemes for the solution are constructed using Chebyshev polynomials of the first and second kind, respectively. Using a model problem as an example, it is shown that both schemes ensure good conditioning of the algebraic problem and possess high accuracy, demonstrating an exponential convergence rate of the error.

сингулярное уравнениеинтегро-дифференциальное уравнениеортогональный базис полиномов Чебышеваспектральный метод Чебышеваобобщенное уравнение Прандтляsingular equationintegro-differential equationorthogonal basis of Chebyshev polynomialsspectral Chebyshev methodgeneralized Prandtl equationРабота выполнена в рамках Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025», подпрограмма «Математические модели и методы», задание 1.4.01.2.This work was supported by the State Program of Scientific Research “Convergence-2025”, subprogram “Mathematical models and methods”, task 1.4.01.2.ReferencesГолубев, В. В. Лекции по теории крыла / В. В. Голубев. – М.: Наука, 1949. – 480 с.Golubev V. V. Lectures on Wing Theory. Moscow, Nauka Publ., 1949. 480 p. (in Russian).Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения уравнения теории крыла / Б. Г. Габдулхаев // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1974. – № 2. – С. 29–44.Gabdulkhaev B. G. Direct methods for solving the equation of wing theory. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika = Russian Mathematics, 1974, no. 2, pp. 29–44 (in Russian).Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев: Наукова думка, 1968. – 287 с.Ivanov V. V. Theory of Approximate Methods and its Application to the Numerical Solution of Singular Integral Equations. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1968. 287 p. (in Russian).Elliott, D. A сomprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc (−1,1) / D. Elliott // The Journal of Integral Equations and Applications. – 1989. – Vol. 2, № 1. – P. 59–94. https://doi.org/10.1216/jie1989-2-1-59Elliott D. A comprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc (−1,1). The Journal of Integral Equations and Applications, 1989, vol. 2, no. 1, pp. 59–94. https://doi.org/10.1216/jie-1989-2-1-59Sahlan, M. N. Operational matrices of Chebyshev polynomials for solving singular Volterra integral equations / M. N. Sahlan, H. Feyzollahzadeh // Mathematical Sciences. – 2017. – Vol. 11, № 2. – P. 165–171. https://doi.org/10.1007/s40096-017-0222-4Sahlan M. N., Feyzollahzadeh H. Operational matrices of Chebyshev polynomials for solving singular Volterra integral equations. Mathematical Sciences, 2017, vol. 11, no. 2, pp. 165–171. https://doi.org/10.1007/s40096-017-0222-4Расолько, Г. А. Численное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 3. – С. 68–74.Rasolko G. A. Numerical solution of singular integro-differential Prandtl equation by the method of orthogonal polynomials. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2018, no. 3, pp. 68–74 (in Russian).Расолько, Г. А. К численному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2019. – № 1. – С. 58–68. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-58-68Rasolko G. A. To the numerical solution of singular integro-differential Prandtl equation by the method of orthogonal polynomials. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 1, pp. 58–68 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-58-68Расолько, Г. А. Об одном методе численного решения некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / Г. А. Расолько, С. М. Шешко, М. А. Шешко // Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55, № 9. – С. 1285–1292. https://doi.org/10.1134/S0374064119090115Rasolko G. A., Sheshko S. M., Sheshko M. A. Numerical Method for Some Singular Integro-Differential Equations. Differential Equations, 2019. vol. 55, no. 9, pp. 1242–1249. https://doi.org/10.1134/S0012266119090118Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М.: Наука, 1973. – 297 с.Bateman G., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Moscow, Nauka Publ., 1973. 297 p. (in Russian).Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 513 с.Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 513 p. (in Russian).Rasolko, G. A. Chebyshev spectral method for one class of singular integro-differential equations / G. A. Rasolko, V. M. Volkov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2025. – Vol. 65, № 2. – Р. 339–348. https://doi.org/10.1134/s0965542524701963Rasolko G. A., Volkov V. M. Chebyshev spectral method for one class of singular integro-differential equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2025, vol. 65, no. 2, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s0965542524701963Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский. – М.: Наука, 1983. – 384 c.Pashkovsky S. Computational Applications of Chebyshev Polynomials and Series. Moscow, Nauka Publ., 1983. 384 p. (in Russian).Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1989. – 543 с.Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow, Nauka Publ., 1989. 543 p. (in Russian).Ожегова, А. В. О сходимости в интегральной метрике приближенных решений обобщенного уравнения теории крыла / А. В. Ожегова, Л. А. Сурай // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. – 2014. – № 1. – С. 64–67.Ozhegova A. V., Surai L. A. On the convergence in the integral metric of approximate solutions of the generalized equation of wing theory. Vestnik KGTU im. A. N. Tupoleva = Bulletin of KSTU named after A. N. Tupolev, 2014. no. 1, pp. 64–67.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.