vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2026-62-2-95-101vestifm-898Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОценка константы Лебега интерполяционных рациональных процессов со специальными узламиEstimation of the Lebesgue constant of interpolated rational processes with special nodeshttps://orcid.org/0000-0002-1265-1965РовбаЕ. А.RoubaYa. A.

Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Yauheni A. Rouba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

rovba@grsu.byТрусило1А. В.TrusilaA. V.

Трусило Анжелика Викторовна – магистрант кафедры математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Anzhalika V. Trusila – Master Student of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

anzhelika.trusilo@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыБеларусьYanka Kupala State University of GrodnoBelarus20261007202662295101Copyright © Ровба Е.А., Трусило1 А.В., 20262026Ровба Е.А., Трусило1 А.В.Rouba Y.A., Trusila A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/898

Ряды Фурье и интерполяционные процессы обладают важным свойством – скорость их сходимости можно оценить сверху, если знать оценки наилучших приближений и констант Лебега. Константы Лебега в полиномиальном случае глубоко исследованы. Для рациональных рядов Фурье были оценены Г. С. Кочаряном (1958 г.), а для интерполяционных рациональных процессов изучались, начиная с работ В. Н. Русака (1962 г.). Однако всякий раз оценки находились при довольно жестких ограничениях на полюсы. В данной работе получены оценки констант Лебега интерполяционных рациональных тригонометрических процессов при условиях полноты соответствующей системы рациональных функций.

Fourier series and interpolation processes possess an important property: their rate of convergence can be upper-bounded if the estimates of the best approximations and Lebesgue constants are known. Lebesgue constants in the polynomial case have been extensively studied. For rational Fourier series, they were estimated by G. S. Kocharyan (1958), and for rational interpolation processes, they have been studied since the works of V. N. Rusak (1962). However, in each case, the estimates were obtained under rather strict restrictions on the poles. In this work, the estimates of Lebesgue constants of interpolating rational trigonometric processes are obtained under conditions of completeness of the corresponding system of rational functions.

интерполяционный рациональный процесстригонометрические рациональные функциифункция и константа Лебегаполнота системы функцийравномерное приближениемодуль непрерывностиinterpolation rational processtrigonometric rational functionsLebesgue function and constantcompleteness of a system of functionsuniform approximationmodulus of continuityReferencesДзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. – М.: Наука, 1977. – 511 с.Dzyadyk V. K. Introduction to the Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials. Moscow, Nauka Publ., 1977. 511 p. (in Russian).Привалов, А. А. Теория интерполирования функций: в 2 т. / А. А. Привалов. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. – 2 т.Privalov A. A. Theory of Function Interpolation. 2 vol. Saratov, Saratov University Publishing House, 1990. (in Russian).Cheney, E. W. A Note on Some Lebesgue Constants / E. W. Cheney, T. J. Rivlin // Rocky Mountain Journal of Mathematics. – 1976. – Vol. 6, № 3. – P. 435–440. https://doi.org/10.1216/rmj-1976-6-3-435Cheney E. W., Rivlin T. J. A Note on Some Lebesgue Constants. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1976, vol. 6, no. 3, pp. 435–440. https://doi.org/10.1216/rmj-1976-6-3-435Кочарян, Г. С. О приближении рациональными функциями в комплексной области / Г. С. Кочарян // Известия Академии наук Армянской ССР. Физико-математические науки. – 1975. – № 4. – С. 53–77.Kocharyan G. S. On approximation by rational functions in the complex domain. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Fiziko-matematicheskie nauki [Proceedings of the Academy of Sciences of the Armenian SSR. Physical and Mathematical Sciences], 1975, no. 4, pp. 53–77 (in Russian).Русак, В. Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В. Н. Русак // Доклады Академии наук БССР. – 1962. – Т. 4, № 9. – С. 548–550.Rusak V. N. On interpolation by rational functions with fixed poles. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1962, vol. 4, no. 9, pp. 548–550 (in Russian).Русак, В. Н. О рациональном приближении на всей вещественной оси / В. Н. Русак // Весці Акадэміі навук БССР. Серыя физіка-тэхнічных навук. – 1964. – № 4. – С. 23–29.Rusak V. N. On rational approximation on the entire real axis. Vestsі Akademіі navuk BSSR. Seryya fizіka-tekhnіchnykh navuk [Proceedings of the Academy of Sciences of BSSR. Physical-Technical series], 1964, no. 4, pp. 23–29 (in Russian).Старовойтов, А. П. О рациональной интерполяции с фиксированными полюсами / А. П. Старовойтов // Весці Акадэміі навук БССР. Серыя физіка-матэматычных навук. – 1983. – № 6. – С. 105–106.Starovoitov A. P. On rational interpolation with fixed poles. Vestsі Akademіі navuk BSSR. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of BSSR. Physics and Mathematics series, 1983, no. 6, pp. 105–106 (in Russian).Ровба, Е. А. О константе Лебега интерполяционных рациональных процессов Лагранжа по узлам Че бышева – Маркова / Е. А. Ровба, Е. В. Дирвук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2015. – № 4. – С. 25–31.Rovba E. A., Dirvuk E. V. Estimation on the Lebesgue constant for the rational Lagrange interpolation processes through the Chebyshev – Markov nodes. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2015, no. 4, pp. 25–31 (in Russian).Ровба, Е. А. О константе Лебега интерполяционного рационального процесса с узлами Чебышева – Маркова / Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий, Е. В. Дирвук // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 3. – С. 12–20.Rovba E. A., Smotritskii K. A., Dirvuk E. V. On a Lebesgue constant of interpolation rational process at the Chebyshev – Markov nodes. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2018, no. 3, pp. 12–20 (in Russian).Kalmykov, S. Estimates of Lebesgue constants for Lagrange interpolation processes by rational functions under mild restrictions to their fixed poles / S. Kalmykova, A. Lukashov // Journal of Approximation Theory. – 2023. – Vol. 291. – Art. ID 105909. https://doi.org/10.1016/j.jat.2023.105909Kalmykov S., Lukashov A. Estimates of Lebesgue constants for Lagrange interpolation processes by rational functions under mild restrictions to their fixed poles. Journal of Approximation Theory, 2023, vol. 291, art. ID 105909. https://doi.org/10.1016/j.jat.2023.105909Ровба, Е. А. О тригонометрическом рациональном интерполировании / Е. А. Ровба, А. В. Трусило // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага ўніверсітэта імя Янкі Купалы. Серыя 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2026. – Т. 16, № 1. – С. 6–15.Rovba E. A., Trusilo A. V. On trigonometric rational interpolation. Vesnik Grodzenskaga dzyarzhaunaga universiteta imya Yanki Kupaly. Seryya 2, Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naya tekhnika i kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2, Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and Сontrol, 2026, vol. 16, no. 1, pp. 6–15 (in Russian).Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М.: Гостехтеоретиздат, 1949. – 688 с.Natanson I. P. Constructive Theory of Functions. Moscow, Gostekhteoretizdat Publ., 1949. 688 p. (in Russian).Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 2005. – 480 с.Suetin P. K. Classical Orthogonal Polynomials. 3rd ed. Moscow, Nauka Publ., 2005, 480 p. (in Russian).Пекарский, А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций посредством ортопроекций / А. А. Пекарский // Математические заметки. – 2004. – Т. 76, № 2. – С. 216–225. https://doi.org/10.4213/mzm101Pekarskii A. A. Best uniform rational approximations of functions by orthoprojections. Mathematical Notes, 2004, vol. 76, no. 2, pp. 216–225. https://doi.org/10.1023/b:matn.0000036758.61603.90

The authors declare that there are no conflicts of interest present.