vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-94Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSБИРАЦИОНАЛЬНАЯ КОМПОЗИЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ НАД ПОЛЕМ ФУНКЦИЙBIRATIONAL COMPOSITION OF QUADRATIC FORMS OVER A FUNCTION FIELDБондаренкоА. А.BondarenkoA. A.Белорусский государственный университет, МинскBelarusian State University, Minsk201418052016032832Copyright © Бондаренко А.А., 20162016Бондаренко А.А.Bondarenko A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/94

Пусть ƒ(X) и g(Y) - невырожденные квадратичные формы размерности m и n над полем K, char K ≠ 2. Рас¬сматривается проблема бирациональной композиции ƒ (X) и g(Y): когда произведение ƒ (X) g(Y) бирационально эквивалентно над K квадратичной форме h(Z) над K размерности m + n?Дано полное решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм над глобальным полем F положительной характеристики ≠2: получены необходимые и достаточные условия существования бирациональной Место для формулы.композиции h(Z) для квадратичных форм ƒ(X) и g(Y) над полем F, описано множество квадратичных форм, которые подходят в качестве h(Z) в этом случае.

Let ƒ(X) and g(Y) be nonsingular quadratic forms over a field K having dimensions m and n  , charK≠ 2. The following problem of a birational compositions ƒ(X) and g(Y)is considered: under which conditions is the product ƒ(X) and g(Y)birationally equivalent over K to a quadratic form h(Z) of dimension m+n over K?The main result of the paper is a complete solution of the birational composition problem for quadratic forms ƒ(X) and g(Y)over the function field F, char F ≠ 2.

ReferencesHurwitzA. // Math. Ann. 1923. Bd. 88, N 1/2. S. 1-25.HurwitzA. // Math. Ann. 1923. Bd. 88, N 1/2. S. 1-25.Radon J. // Abh. Math. Sem. Univer. Humburg. 1922. Bd. 1, N 1. S. 1-14Radon J. // Abh. Math. Sem. Univer. Humburg. 1922. Bd. 1, N 1. S. 1-14Lam K. Y. // Quadratic and hermition Forms. CMS Conf. Proc. Vol. 4. Providence, 1984. P. 173-192Lam K. Y. // Quadratic and hermition Forms. CMS Conf. Proc. Vol. 4. Providence, 1984. P. 173-192Pfister A. // Arch. Math. 1965. Bd. 16, N 1. P. 363-370.Pfister A. // Arch. Math. 1965. Bd. 16, N 1. P. 363-370.Бондаренко А. А. // Весщ НАН Беларуи. Сер фiз.-мат. навук. 2007. № 4. С. 56-61.Бондаренко А. А. // Весщ НАН Беларуи. Сер фiз.-мат. навук. 2007. № 4. С. 56-61.Бондаренко А. А. // Мат. заметки. 2009. Т. 85, № 5. С. 661-670.Бондаренко А. А. // Мат. заметки. 2009. Т. 85, № 5. С. 661-670.Бондаренко А. А. // Вестн. БГУ Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 2010. № 3. С. 90-93.Бондаренко А. А. // Вестн. БГУ Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 2010. № 3. С. 90-93.СеррЖ.-П. Курс арифметики. М., 1972.СеррЖ.-П. Курс арифметики. М., 1972.Lam T. Y. Algebric theory of quadratic forms. Bengamin, 1973.Lam T. Y. Algebric theory of quadratic forms. Bengamin, 1973.Knebush M., Scharlau W. Algebric Theory of quadratic forms. Generic methods and pfister forms. DMV Sem1. Boston, 1980.Knebush M., Scharlau W. Algebric Theory of quadratic forms. Generic methods and pfister forms. DMV Sem1. Boston, 1980.О’Меат O. T. Introduction to Quadratic Forms. Berlin, 1971.О’Меат O. T. Introduction to Quadratic Forms. Berlin, 1971.Бондаренко А. А. // Вестн. БГУ Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 2012. № 2. С. 106-110.Бондаренко А. А. // Вестн. БГУ Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 2012. № 2. С. 106-110.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.