Методы интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями

Разработаны новые методы точного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, содержащих стандартное броуновское движение, дробное броуновское движение с показателем Харста H> 1/2 и снос. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, где, в свою очередь, интеграл по стандартному броуновскому движению понимается как интеграл Ито, а интеграл по дробному броуновскому движению – как потраекторный интеграл Янга. Полученные в статье методы интегрирования можно отнести к двум типам. Методы первого типа основаны на приведении уравнений к уравнениям более простого вида, в частности к простейшим и линейным неоднородным уравнениям. В работе получены необходимые и достаточные условия приводимости, применимые к одномерным уравнениям, а также приведены примеры, охватывающие, в частности, стохастические уравнения Бернулли. Метод второго типа основан на переходе к уравнению Стратоновича и применим к многомерным уравнениям. В дополнение к указанным методам интегрирования получены аналоги дифференциальных уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей распределений решений в предположении, что коэффициенты стохастического дифференциального уравнения смешанного типа порождают коммутирующие дифференциальные потоки.

1. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications / F. Biagini [et al.]. – London: Springer-Verlag, 2008. – 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8

2. Cheridito, P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling / P. Cheridito. – Zurich, ETH, 2001. – 121 p.

3. Guerra, J. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion / J. Guerra, D. Nualart // Stochastic Analysis and Applications – 2008. – Vol. 26, № 5. – P. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483

4. Mishura, Y. S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes / Y. S. Mishura. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 411 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0

5. Mishura, Y. S. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2 / Y. S. Mishura, G. M. Shevchenko // Comm. Statist. Theory Methods. – 2011. – Vol. 40, № 19/20. – P. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174

6. Shevchenko, G. Mixed stochastic delay differential equations / G. Shevchenko // Theory Probab. Math. Statist. – 2014. – Vol. 89. – P. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3

7. Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффициентами / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – т. 50, № 2. – С. 189–203. https://doi.org/10.1134/s037406411402006x

8. Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффициентами и с частично вырожденным оператором диффузии / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – т. 50, № 8. – С. 1053–1069. https://doi.org/10.1134/s0374064114080056

9. Васьковский, М. М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2015. – № 1. – С. 22–34.

10. Леваков, А. А. Существование решений стохастических дифференциальных включений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2015. – т. 51, № 8. – С. 997–1003.

11. Леваков, А. А. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2016. – т. 52, № 8. – С. 1011–1019.

12. Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2. – С. 160–173.

13. Gard, T. C. Introduction to Stochastic Differential Equations / Gard T. C. – New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 1988. – 234 p.

14. Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения / А. А. Леваков. – Минск: БГУ, 2009. – 231 с.

15. Russo, F. Stochastic calculus with respect to continuous finite quadratic variation processes / F. Russo, P. Vallois // Stochastics Rep. – 2000. – Vol. 70, № 1/2. – P. 1–40. https://doi.org/10.1080/17442500008834244

16. Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. – М.: Мир, 2003. – 408 с.

17. Baudoin, F. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions / F. Baudoin, L. Coutin // Stochastic Processes and their Applications. – 2007. – Vol. 117, № 5. – P. 550–574. https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.09.004

18. Vaskouski, M. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 / M. Vaskouski, I. Kachan // Stochastic Analysis and Applications. – 2018. – Vol. 36, № 6. – P. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247

19. Vyoral, M. Kolmogorov equation and large-time behavior for fractional Brownian motion driven linear SDE's / M. Vyoral // Appl. Math. – 2005. – Vol. 50, № 1. – P. 63–81. https://doi.org/10.1007/s10492-005-0004-4