Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов.

Формулируется следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот.

Цель работы – получить необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем в случае, когда усреднение матрицы коэффициентов является тривиальным. В рассматриваемом случае найдена оценка мощности асинхронного спектра.

1. Тонков, Е. Л. Периодическая краевая задача и свойства периодических решений линейных дифференциальных уравнений: автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук / Е. Л. Тонков; АН БССр. Отд-ние физ.-мат. наук. – Минск, 1969. – 12 с.

2. Тонков, Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 6. – С. 1007–1011.

3. Тонков, Е. Л. Некоторые свойства линейных периодических систем / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1980. – Т. 16, № 4. – С. 756–757.

4. Иванов, А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями / А. Г. Иванов // Приклад. математика и механика. – 1992. – Т. 56, вып. 5. – С. 837–846.

5. Иванов, А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I / А. Г. Иванов // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. – 2002. – Вып. 1. – С. 3–100.

6. Попова, С. Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэффициентами / С. Н. Попова // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. – 2008. – Вып. 2. – С. 1–2.

7. Лаптинский, В. Н. К теории стабилизации линейных периодических систем управления / В. Н. Лаптинский // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 12. – С. 2163–2164.

8. Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bul. de la Facultad de Ingenieria Montevideo. – 1950. – Vol. 4, № 1. – P. 37–45.

9. Папалекси, Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем / Н. Д. Папалекси // Изв. Акад. наук СССР. Сер. физ. – 1939. – Т. 1. – С. 373–379.

10. Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.

11. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных квазипериодических систем с тривиальным усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2.– С. 281–283.

12. Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.

13. Деменчук, А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление / А. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. – 186 с.