Способы нахождения точного числа предельных циклов автономных систем на цилиндре
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-182-194
Аннотация
Для вещественных автономных систем дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемыми правыми частями рассматривается задача нахождения точного числа и локализации предельных циклов второго рода на цилиндре. В случае отсутствия точек покоя системы на цилиндре для решения указанной задачи развиваются ранее предложенные нами способы, состоящие в последовательном двухшаговом применении признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака. Разработан также новый способ, использующий на втором шаге обобщение признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака, где требование знакопостоянности дивергенции заменяется условием трансверсальности кривых, на которых дивергенция обращается в нуль. С помощью разработанных способов находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие цилиндр на подобласти, окружающие его, в каждой из которых система имеет точно один предельный цикл второго рода.
Практическая эффективность разработанного способа продемонстрирована на примере системы маятникового типа, для которой в случае отсутствия точек покоя доказано существование точно трех предельных циклов второго рода на всем фазовом цилиндре.
Об авторах
А. А. Гринь
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
Гринь Александр Александрович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры
ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь
С. В. Рудевич
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
Рудевич Сергей Вячеславович – аспирант
ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь
Список литературы
1. Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. – 2-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 486 с.
2. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – 2-е изд., перераб. и испр. – М.: Наука, 1981. – 918 с.
3. Барбашин, Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством / Е. А. Барбашин, В. А. Табуева. – М.: Наука, 1969. – 350 с.
4. Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.
5. Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 c.
6. Черкас, Л. А. Функция Дюлака для динамических систем на цилиндре / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2007. – № 2. – С. 3–8.
7. Черкас, Л. А. Функция предельных циклов второго рода для автономных систем на цилиндре / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2011. – т. 47, № 4. – С. 462–470.
8. Cherkas, L. A. A new approach to study limit cycles on a cylinder / L. A. Cherkas, A. A. Grin, K. R. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Mathematical Analysis. – Vol. 18, № 6a. – 2011. – P. 839–851.
9. Гринь, А. А. Оценка числа предельных циклов для одного уравнения Абеля / А. А. Гринь, С. В. Рудевич // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2015. – № 2 (192). – С. 28–35.
10. Grin, A. A. Study of the bifurcation of a multiple limit cycle of the second kind by means of a Dulac-Cherkas function / A. A. Grin, K. R. Schneider // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 2016. – Vol. 26, № 14. – P. 76–85. https://doi.org/10.1142/s0218127416502291
11. Alvarez, M. J. New uniqueness criterion for the number of periodic orbits of Abel equations / M. J. Alvarez, A. Gasull, H. A Giacomini // J. Differential Equations. – 2007. – Vol. 234, № 1. – P. 161–176. https://doi.org/10.1016/j.jde.2006.11.004
12. Grin, A. A. Construction of generalized pendulum equations with prescribed maximum number of limit cycles of the second kind / A. A. Grin, K. R. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Mathematical Analysis. – 2019. – Vol. 26. – P. 69–88.
13. Ilyashenko, Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem / Y. Ilyashenko // Bull. Am. Math. Soc. – 2002. – Vol. 39, № 3. – P. 301–354. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-02-00946-1
14. Гринь, А. А. Признак Дюлака – Черкаса для точной оценки числа предельных циклов автономных систем на плоскости / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2. – С. 174–182. https://doi.org/10.1134/s0374064117020042
15. Гринь, А. А. Точные оценки числа предельных циклов автономных систем с тремя точками покоя на плоско-сти / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2016. – № 4. – С. 7–17.
16. Кузьмич, А. А. О точном числе предельных циклов некоторых автономных систем с тремя точками покоя на плоскости / А. В. Кузьмич, А. А. Гринь // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2017. – № 2. – С. 30–40.
17. Гринь, А. А. Признак Дюлака – Черкаса для установления точного числа предельных циклов автономных систем на цилиндре / А. А. Гринь, С. В. Рудевич // Дифференц. уравнения. – 2019. – т. 55, № 3. – С. 328–336. https://doi.org/10.1134/s0374064119030063
Рецензия
Просмотров: 986
Послать статью по эл. почте 