Спектральные свойства дискретных моделей многомерных эллиптических задач со смешанными производными

Исследовано влияния структуры спектров исходной и переобусловленной матриц разностных задач для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными на скорость сходимости итерационных методов решения систем соответствующих сеточных уравнений. Показано, что эффективность итерационных методов семейства би-сопряженных градиентов для систем с не симметричными матрицами существенно зависит не только от границ спектра матрицы, но и от неоднородности распределения его компонент, а также от величины мнимой части комплексных собственных чисел. Для тестовых матриц с фиксированным числом обусловленности изучены три варианта спектрального распределения и получены зависимости количества итераций от размерности матриц. Показано, что неравномерность распределения собственных значений в пределах фиксированных границ спектра приводит к существенному росту числа итераций с возрастанием размерности матриц. Аналогичное влияние на скорость сходимости оказывает рост амплитуды мнимой части собственных значений. На примере модельной задачи распределения потенциала в квадратной области с анизотропной кольцевой неоднородностью проведен сравнительный анализ взаимозависимости структуры спектра матриц и скорости сходимости метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что преимущества переобусловливателя Фурье – Якоби связаны с более равномерным распределением спектра переобусловленной матрицы вдоль действительной оси и лучшим подавлением мнимой составляющей спектра по сравнению с переобусловливателем на основе неполной LU-факторизации.

1. Hestenes, M. R methods of conjugate gradients for solving linear systems / M. R. Hestenes, E. L. Stiefel // J. Res. Nat. Bur. Standards. – 1952. – Vol. 49, № 6. – P. 409–436. https://doi.org/10.6028/jres.049.044

2. Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 352 с.

3. Martynova, T. S. Numerical Solution of Boundary-Value Problems for Second-Order Elliptic Equations with Mixed Derivatives by Effective Iteration Methods / T. S Martynova // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2009. – Vol. 1, № 3. – P. 370–382. https://doi.org/10.1134/s2070048209030041

4. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.] // Мат. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2.– С. 17–26.

5. 3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem / S. Turovets [et al.] // Comput. Math. Methods in Medicine. – 2014. – Vol. 2014. – P. 1–12. https://doi.org/10.1155/2014/426902

6. Волков, В. М. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54. № 4. – С. 454–459. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459

7. Волков, В. М. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – №. 1. – С. 69–76.

8. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. – М.: Наука, 1978. – 592 c.

9. Хейгеман, Л. Прикладные итерационные методы: пер. с англ. / Л. Хейгеман, Д. Янг. – М.: Мир, 1986. – 448 с.

10. Saad, Y. Iterative solution of linear systems in the 20 th century / Y. Saad, H. A. van der Vorst // J. Comput. Appl. Math. – 2000. – Vol. 123, № 1/2. – P. 1–33. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00412-x

11. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods / R. Barrett [et al.]. – SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538

12. Самарский, A. A. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 432 c.