Доступ открыт Открытый доступ  Доступ закрыт Только для подписчиков

Двойственность Хоу алгебры Хиггса – Хана для восьмимерного гармонического осциллятора


https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-216-224

Полный текст:


Аннотация

Рассмотрены два разных, но изоморфных представления одной алгебры в свете двойственности Хоу: алгебра Хиггса и алгебра Хана. Первая отвечает алгебре симметрии гармонического осциллятора на 2-сфере и полиномиально деформированной SU(2) алгебре, а вторая – кодирует биспектральные свойства одноименных ортогональных многочленов и выступает как алгебра симметрии Хартмана и некоторых других кольцевых потенциалов, а также сингулярного осциллятора в двух измерениях. Показана в явном виде реализация данной алгебры, с одной стороны, как коммутанта O(4) ⊕ O(4) подалгебры U(8) в осцилляторном представлении универсальной обертывающей алгебры U (u(8)) и, с другой стороны, как вложение дискретной версии алгебры Хана в двойное тензорное произведение SU(1,1) ⊗ SU(1,1). Эти две реализации отражают факт, что SU(1,1) и U(8) образуют двойственную пару в пространстве состояний гармонического осциллятора в восьми измерениях. В конце статьи кратко обсуждены дальнейшие возможные направления исследований для обобщения полученных результатов. Первое достаточно очевидно – это рассмотрение проблемы при увеличении или при любом значении N размерности гармонического осциллятора. Второе направление можно связать с анализом ситуации для N-тензорного произведения SU(1,1)N. Еще одним интересным аспектом данной проблемы может быть исследование q-обобщения SU(1,1).


Об авторах

А. Н. Лаврёнов
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Беларусь

Лаврёнов Александр Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий в образовании

ул. Советская, 18, 220030, г. Минск, Республика Беларусь



И. А. Лаврёнов
ООО «Октонион технолоджи»
Беларусь

Лаврёнов Иван Александрович – ведущий специалист

ул. Я. Купалы, 25, 220030, г. Минск, Республика Беларусь



Список литературы

1. Грановский, Я. И. Точно решаемые задачи и их квадратичные алгебры / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов. – Донецк: ДонФТИ, 1989. – 40 с. – (Препринт / Донец. физ.-тех. ин-т; ДонФТИ-89-7).

2. Жеданов, А. С. Скрытая симметрия полиномов Аски – Вильсона / А. С. Жеданов // теорет. и мат. физика. – 1991. – т. 89, № 2. – С. 190–204.

3. Грановский, Я. И. Квадратичная алгебра и динамическая симметрия уравнения Шредингера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // ЖЭТФ. – 1991. – т. 99, № 2. – С. 353–361.

4. Granovskii, Y. I. Mutual integrability, quadratic algebras, and dynamical symmetry / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // Ann. Phys. – 1992. – Vol. 217, № 1. – P. 1–20. https://doi.org/10.1016/0003-4916(92)90336-k

5. Луценко, И. M. Об алгебре Якоби и порождаемых ею потенциалах / И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 93, № 1. – С. 3–16.

6. Higgs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 3. – P. 309–323. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006

7. Leemon, H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II / H. I. Leemon // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 4. – P. 489–501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009

8. Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге – ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1979. – T. 23, № 11. – С. 987–990.

9. Богуш, А. А. О квантовомеханической задаче Кеплера в пространстве лобачевского / А. А. Богуш, Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1980.– т. 24, № 1. – С. 19–22.

10. Bogush, A. A. Algebra of conserved operators for the Kepler – Coulomb problem in the spaces of constant curvature / A. A. Bogush, Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik // Physics of Atomic Nuclei. – 1998. – Vol. 61, № 10. – P. 1778–1781.

11. Gritsev, V. V. The Higgs algebra and the Kepler problem in R 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 22. – P. 4073–4080. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/22/310

12. Gritsev, V. V. Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin, V. S. Otchik // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 27. – P. 4903–4910. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/27/307

13. Granovskii, Y. I. Quadratic algebra as a ‘hidden’ symmetry of the Hartmann potential / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1991. – Vol. 24, № 16. – P. 3887–3894. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/24/16/024

14. Zhedanov, A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials / A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1993. – Vol. 26, № 18. – P. 4633–4642. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027

15. Gal’bert, O. F. Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator / O. F. Gal’bert, Y. I. Granovskii, A. S. Zhedanov // Phys. Lett. A. – 1991. – Vol. 153, № 4/5. – P. 177–180. https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90789-b

16. Грановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 91, № 2. – С. 207–216.

17. Грановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – – 1992. – т. 91, № 3. – С. 396–410.

18. The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective / L. Frappat [et al.] // Physics Letters A. – 2019. – Vol. 383, №. 14. – P. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024

19. Bellucci, S. The second Hopf map and Yang-Coulomb system on a 5D (pseudo)sphere / S. Bellucci, J. Toppan, V. Yeghikyan // J. Phys. A: Math. General. – 2010. – Vol. 43, № 4. – P. 045205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/4/045205

20. Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotropic oscillator / Davtyan, L. S., [et al.] // J. Phys. A: Math. General. – 1987. – Vol. 20, № 17. – P. 6121–6126. https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/17/044

21. Mardoyan, L. G. 8D oscillator as a hidden SU(2)-monopole / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. Ter-Antonyan. – Dubna: JINR, 1998. – 14 p. – (Preprint / Joint Institute for Nuclear Research; E2-98-14).

22. Mardoyan, L. G. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb system / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. TerAntonyan // Mod. Phys. Lett. A. – 1999. – Vol. 14, № 19. – P. 1303–1307. https://doi.org/10.1142/s0217732399001395

23. Mardoyan, L. G. Dyon-oscillator duality. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole / L. G. Mardoyan // Superintegrability in Classical and Quantum Systems. – 2004. – Vol. 37. – P. 99–108. https://doi.org/10.1090/crmp/037/09

24. Marquette, I. Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole, and Hurwitz transformation / I. Marquette // J. Math. Phys. – 2012. – Vol. 53, № 2. – P. 022103–12. https://doi.org/10.1063/1.3684955

25. Pletyukhov, M. V. 8D oscillator and 5D Kepler problem: The case of nontrivial constraints / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Math. Phys. – 1999. – Vol. 40, № 1. – P. 93–100. https://doi.org/10.1063/1.532761

26. Pletyukhov, M. V. Hurwitz transformation and oscillator representation of a 5D isospin particle / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // Rep. Math. Phys. – 1999. – Vol. 43, № 1/2. – P. 303–311. https://doi.org/10.1016/s0034-4877(99)80039-1

27. Pletyukhov, M. V. SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Phys. A: Math. General. – 1999. – Vol. 32, № 23. – P. L249–L253. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/23/101

28. The generalized Racah algebra as a commutant / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys.: Conf. Ser. – 2019. – Vol. 1194. – P. 012034. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1194/1/012034

29. The Racah algebra as a commutant and Howe duality / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys. A: Math. Theor. – 2018. – Vol. 51, № 50. – P. 50LT01. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aaee1a

30. Howe, R. Remarks on Classical Invariant Theory / R. Howe // Trans. Am. Math. Soc. – 1989. – Vol. 313, № 2. – P. 539–570. https://doi.org/10.2307/2001418

31. Dual pairing of symmetry and dynamical groups in physics / D. J. Rowe [et al.] // Rev. Modern Phys. – 2012. – Vol. 84, № 2. – P. 711–757. https://doi.org/10.1103/revmodphys.84.711


Дополнительные файлы

Просмотров: 121

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1561-2430 (Print)
ISSN 2524-2415 (Online)