О рациональной интерполяции функции |x|α по расширенной системе узлов Чебышева – Маркова
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405
Анатацыя
В работе исследуются приближения функции |x|α, α > 0 интерполяционными рациональными функциями Лагранжа на отрезке [–1,1]. В качестве узлов интерполирования выбираются нули четных рациональных функций Чебышева – Маркова и точка x = 0. Получено интегральное представление остатка интерполирования и оценка сверху рассматриваемых равномерных приближений. На их основании подробно изучаются:
а) полиномиальный случай; здесь авторы приходят к известному асимптотическому равенству М. Н. Ганзбурга;
б) в случае фиксированного числа геометрически различных полюсов получена оценка сверху соответствующих равномерных приближений, улучшающая известный результат К. Н. Лунгу;
в) при приближении общими интерполяционными рациональными функциями Лагранжа найдена оценка равномерных приближений и показано, что на концах отрезка [–1,1] ее можно улучшить.
Полученные результаты могут быть применены в теоретических исследованиях и численных методах.
Аб аўтарах
Е. Ровба
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
В. Медведева
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
Спіс літаратуры
1. Lebesgue, H. Sur I’approximation des fonctions / H. Lebesgue // Bull. Sci. Math. – 1898. – № 22. – P. 278–287.
2. Landay, E. Über die Approximation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale Funktion / E. Landay // Rend. Circ. Mat. Palermo. – 1908. – Vol. 25, №. 1. – P. 337–345. https://doi.org/10.1007/bf03029135
3. De la Vallee Poussin, Ch. J. Sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle et de leurs dérivées par des polynomes et des suites limitées de Fourier / Ch. J. De la Vallee Poussin // Bull. Ac. de Belgique. – 1908. – № 3. – P. 3–64.
4. Бернштейн, С. Н. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей / С. Н. Бернштейн // Сочинения. – 1912. – Т. 1. – С. 105–106.
5. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x| посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: в 2 т. – М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1952. – Т. 1. – С. 157–206.
6. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Акад. наук СССР. Сер.мат. – 1938 –Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.
7. Никольский, С. М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функции|a – x|s / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1947. – Т. 11, № 2. – С. 139–180.
8. Райцин, Р. А. О наилучшем среднеквадратическом приближении многочленами и целыми функциями конечной степени функций, имеющих алгебраическую особую точку / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Математика. – 1969. – № 4. – С. 59–61.
9. Brutman, L. On the Divergence of Lagrange Interpolation to |x| / L. Brutman, E. Passow // J. Approx. Theory. – 1995. – Vol. 81, № 1. – P. 127–135. https://doi.org/10.1006/jath.1995.1037
10. Byrne, G. J. On Lagrange interpolation with equidistant nodes / G. J. Byrne, T. M. Mills, S. J. Smith // Bull. Aust. Math. Soc. – 1990. – Vol. 42, № 1. – P. 81–89. https://doi.org/10.1017/s0004972700028161
11. Li, X. Local convergence of Lagrange interpolation associated with equidistant nodes / X. Li, E. B. Saff // J. Approx. Theory. – 1994. – Vol. 78, № 2. – P. 213–225. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1073
12. Ganzburg, M. I. The Bernstein Constant and Polynomial Interpolation at the Chebyshev Nodes / M. I. Ganzburg // J. Approx. Theory. – 2002. – Vol. 119, № 2. – P. 193–213. https://doi.org/10.1006/jath.2002.3729
13. Revers, M. On the asymptotics of polynomial interpolation to |x|α at the Chebyshev nodes / M. Revers // J. Approx. Theory. – 2013. – Vol. 165. – P. 70–82.
14. Ganelius, T. H. Rational approximation to xα on [0,1] / T. H. Ganelius // Anal. Math. – 1979. – № 5. – P. 19–33. https://doi.org/10.1007/bf02079347
15. Andersson, J.-E. Rational approximation to functions like xα in integral norms / J.-E.Andersson // Anal. Math. – 1988. – № 14. – P. 11–25.
16. Вячеславов, Н. С. О приближении функции |x| рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Мат. заметки. – 1974. – Т. 16, № 1. – С. 163–171.
17. Вячеславов, Н. С. О наименьших уклонениях функции signx и ее первообразных от рациональных функциях в метриках Lp, 0 <p ≤ ∞ / Н. С. Вячеславов // Мат. сб. – 1977. – Т. 103 (145), № 1 (5). – С. 23–36.
18. Шталь, Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |x| на [–1,1] / Г. Шталь // Мат. сб. – 1992. – Т. 183, № 8. – С. 85–118.
19. Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Мат. сб. – 1971. – Т. 86 (128), № 2 (10). – С 314–324.
20. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Сиб. мат. журн. – 1984. – Т. 25, № 2. – С 151–160.
21. Ровба, Е. А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е. А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюз. шк. по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977 г. / Бакин. гос. ун-т. – Баку, 1980. – С. 234–239.
22. Ровба, Е. А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями/ Е. А. Ровба // Вес. АН БССР. Сер.фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.
23. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. – Минск: БГУ, 1979. – 176 с.
24. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 1997. – Т. 2. – 800 с.
25. Пекарский, А. А. Построение экстремальных произведений Бляшке / А. А. Пекарский, Е. В. Ковалевская // Вес. Гродн. гос. ун-та им. Я. Купалы. Сер. 2. – 2017. – Т. 7, № 1. – С. 6–13.
##reviewer.review.form##
Праглядаў: 823
Паслаць артыкул па эл. пошце 