О рациональной интерполяции функции |x|α по расширенной системе узлов Чебышева – Маркова
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405
Аннотация
В работе исследуются приближения функции |x|α, α > 0 интерполяционными рациональными функциями Лагранжа на отрезке [–1,1]. В качестве узлов интерполирования выбираются нули четных рациональных функций Чебышева – Маркова и точка x = 0. Получено интегральное представление остатка интерполирования и оценка сверху рассматриваемых равномерных приближений. На их основании подробно изучаются:
а) полиномиальный случай; здесь авторы приходят к известному асимптотическому равенству М. Н. Ганзбурга;
б) в случае фиксированного числа геометрически различных полюсов получена оценка сверху соответствующих равномерных приближений, улучшающая известный результат К. Н. Лунгу;
в) при приближении общими интерполяционными рациональными функциями Лагранжа найдена оценка равномерных приближений и показано, что на концах отрезка [–1,1] ее можно улучшить.
Полученные результаты могут быть применены в теоретических исследованиях и численных методах.
Об авторах
Е. А. Ровба
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики.
ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно
В. Ю. Медведева
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
Медведева Виктория Юрьевна – магистрант.
ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно
Список литературы
1. Lebesgue, H. Sur I’approximation des fonctions / H. Lebesgue // Bull. Sci. Math. – 1898. – № 22. – P. 278–287.
2. Landay, E. Über die Approximation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale Funktion / E. Landay // Rend. Circ. Mat. Palermo. – 1908. – Vol. 25, №. 1. – P. 337–345. https://doi.org/10.1007/bf03029135
3. De la Vallee Poussin, Ch. J. Sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle et de leurs dérivées par des polynomes et des suites limitées de Fourier / Ch. J. De la Vallee Poussin // Bull. Ac. de Belgique. – 1908. – № 3. – P. 3–64.
4. Бернштейн, С. Н. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей / С. Н. Бернштейн // Сочинения. – 1912. – Т. 1. – С. 105–106.
5. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x| посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: в 2 т. – М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1952. – Т. 1. – С. 157–206.
6. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Акад. наук СССР. Сер.мат. – 1938 –Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.
7. Никольский, С. М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функции|a – x|s / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1947. – Т. 11, № 2. – С. 139–180.
8. Райцин, Р. А. О наилучшем среднеквадратическом приближении многочленами и целыми функциями конечной степени функций, имеющих алгебраическую особую точку / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Математика. – 1969. – № 4. – С. 59–61.
9. Brutman, L. On the Divergence of Lagrange Interpolation to |x| / L. Brutman, E. Passow // J. Approx. Theory. – 1995. – Vol. 81, № 1. – P. 127–135. https://doi.org/10.1006/jath.1995.1037
10. Byrne, G. J. On Lagrange interpolation with equidistant nodes / G. J. Byrne, T. M. Mills, S. J. Smith // Bull. Aust. Math. Soc. – 1990. – Vol. 42, № 1. – P. 81–89. https://doi.org/10.1017/s0004972700028161
11. Li, X. Local convergence of Lagrange interpolation associated with equidistant nodes / X. Li, E. B. Saff // J. Approx. Theory. – 1994. – Vol. 78, № 2. – P. 213–225. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1073
12. Ganzburg, M. I. The Bernstein Constant and Polynomial Interpolation at the Chebyshev Nodes / M. I. Ganzburg // J. Approx. Theory. – 2002. – Vol. 119, № 2. – P. 193–213. https://doi.org/10.1006/jath.2002.3729
13. Revers, M. On the asymptotics of polynomial interpolation to |x|α at the Chebyshev nodes / M. Revers // J. Approx. Theory. – 2013. – Vol. 165. – P. 70–82.
14. Ganelius, T. H. Rational approximation to xα on [0,1] / T. H. Ganelius // Anal. Math. – 1979. – № 5. – P. 19–33. https://doi.org/10.1007/bf02079347
15. Andersson, J.-E. Rational approximation to functions like xα in integral norms / J.-E.Andersson // Anal. Math. – 1988. – № 14. – P. 11–25.
16. Вячеславов, Н. С. О приближении функции |x| рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Мат. заметки. – 1974. – Т. 16, № 1. – С. 163–171.
17. Вячеславов, Н. С. О наименьших уклонениях функции signx и ее первообразных от рациональных функциях в метриках Lp, 0 <p ≤ ∞ / Н. С. Вячеславов // Мат. сб. – 1977. – Т. 103 (145), № 1 (5). – С. 23–36.
18. Шталь, Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |x| на [–1,1] / Г. Шталь // Мат. сб. – 1992. – Т. 183, № 8. – С. 85–118.
19. Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Мат. сб. – 1971. – Т. 86 (128), № 2 (10). – С 314–324.
20. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Сиб. мат. журн. – 1984. – Т. 25, № 2. – С 151–160.
21. Ровба, Е. А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е. А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюз. шк. по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977 г. / Бакин. гос. ун-т. – Баку, 1980. – С. 234–239.
22. Ровба, Е. А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями/ Е. А. Ровба // Вес. АН БССР. Сер.фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.
23. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. – Минск: БГУ, 1979. – 176 с.
24. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 1997. – Т. 2. – 800 с.
25. Пекарский, А. А. Построение экстремальных произведений Бляшке / А. А. Пекарский, Е. В. Ковалевская // Вес. Гродн. гос. ун-та им. Я. Купалы. Сер. 2. – 2017. – Т. 7, № 1. – С. 6–13.
Рецензия
Просмотров: 815
Послать статью по эл. почте 