Использование рекурсивных цифровых фильтров для построения разностных схем высоких порядков для нестационарного уравнения Шредингера

Исследованы двухслойные разностные схемы высоких порядков для нестационарного уравнения Шредингера. С использованием методов цифровой обработки сигналов доказан критерий консервативности разностных схем любого порядка для уравнения Шредингера. С помощью достигнутых теоретических результатов вычислены аналитические выражения для коэффициентов разностной схемы восьмого порядка. Получены условия эквивалентности разностных схем восьмого порядка представлению в виде каскада всепропускающих цифровых фильтров первого порядка. На основе численного анализа показано превосходство разностной схемы восьмого порядка при решении линейного уравнения Шредингера над схемой повышенного порядка точности на шеститочечном шаблоне. На примере моделирования двухсолитонного решения нелинейного уравнения Шредингера посредством метода дробных шагов второго порядка точности установлено, что схемы высоких порядков не позволяют радикально улучшить точность полученного решения. Исследован вопрос о вычислительной сложности разностных схем высоких порядков. Полученные результаты могут быть использованы при конструировании эффективных численных алгоритмов численного анализа как линейных, так и нелинейных задач для уравнений шредингеровского типа при применении метода дробных шагов соответствующего порядка точности.

разностные схемы, восьмой порядок, уравнение Шредингера, рекурсивный цифровой фильтр, всепропускающий фильтр

1. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.

2. Han, F. New higher-order compact finite difference schemes for 1D heat conduction equations / F. Han, W. Dai // Appl. Math. Modell. – 2013. – Vol. 37, № 16/17. – P. 7940–7952. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.03.026

3. Gordin, V. A. Compact differential schemes for the diffusion and Schrödinger equations. Approximation, stability, convergence, effectiveness, monotony / V. A. Gordin, E. A. Tsymbalov // J. Comput. Math. – 2014. – Vol. 32, № 3. – P. 348 370. https://doi.org/10.4208/jcm.1403-cr14

4. Волков, В. М. Спектральная согласованность разностных схем для уравнения теплопроводности / В. М. Волков, А. Н. Гуревский // Вес. Нац. акад. навукБеларусi. Сер.фiз.-мат. навук. – 2017. – № 3. – С. 7–14.

5. Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шредингера на основе методов цифровой обработки сигналов / В. М. Волков, А. Н. Гуревский, И. В. Жукова // Вестн. БГУ. – 2015. – № 3. – С. 84–89.

6. Carena, A. A time-domain optical transmission system simulation package accounting for nonlinear and polarization-related effects in fiber / A. Carena, V. Curri., R. Gaudino, P. Poggiolini, S. Benedetto // IEEE J. Selected Areas in Communications. – 1997. – Vol. 15, № 4. – P. 751–765. https://doi.org/10.1109/49.585785

7. Сергиенко, А. Г. Цифровая обработка сигналов / А. Г. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 768 с.

8. Askar, S. S. On Solving Pentadiagonal Linear Systems via Transformations / S. S. Askar, A. A. Karawia // Mathematical Problems in Engineering. – 2015. – Vol. 2015. – P. 1–9. https://doi.org/10.1155/2015/232456

9. Ахманов, С. А. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов / С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин. – М.: Наука, 1988. – 312 с.

10. Агравал, Г. Нелинейная волоконная оптика / Г. Агравал. – М.: Мир, 1996. – 323 с.

11. Optimization of the split-step Fourier method in modeling optical-fiber communications systems / O. V. Sinkin [et al.] // J. Lightwave Technol. – 2003. – Vol. 21, № 1. – P. 61 68. https://doi.org/10.1109/JLT.2003.808628

12. Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения в методе дробных шагов для нелинейного уравнения Шредингера / В. М. Волков, А. Н. Гуревский // Вес. БГПУ, Сер. 3. – 2016. №4. – С. 11 17.

13. Lele, S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S. K. Lele // J. Comput. Phys. – 1992. – Vol. 103, № 1. – P. 16–42. https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-r

14. Гуревский, А. Н. Оптимизация спектральных характеристик разностных схем для нестационарного уравнения Шредингера / А. Н. Гуревский //Вес. Нац. акад. навукБеларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 62–68. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-62-68