Суммы Абеля – Пуассона сопряженных рядов Фурье – Чебышева и их аппроксимационные свойства

Изучаются аппроксимационные свойства сумм Абеля – Пуассона рациональных сопряженных рядов Фурье по системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова, а также исследуются приближения данным методом сопряженных на отрезке [–1,1] функций с плотностью | x |^s , s ∈(1, 2). Приведены результаты, относящиеся
к исследованиям полиномиальных и рациональных приближений сопряженных функций. Проводится построение сопряженного ряда Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова. Устанавливается интегральное представление приближений сопряженных на отрезке [–1,1] функций изучаемым методом, найдены асимптотически точные верхние грани уклонений сопряженных сумм Абеля – Пуассона на классах H^(γ)[-1,1], γ ∈ (0,1], сопряженных функций fˆ, когда функция f удовлетворяет на отрезке [–1,1] условию Липшица порядка γ, γ ∈ (0,1], а также изучены приближения сопряженными суммами Абеля – Пуассона сопряженных функций с плотностью | x |^s , s ∈(1, 2), на отрезке [–1,1]. Получены оценки приближений, асимптотическое выражение мажоранты приближений при r → 1. Найдено оптимальное значение параметра, при котором обеспечивается наибольшая скорость убывания мажоранты. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача приближения сопряженной функции с плотностью | x |s , s > 0, суммами Абеля – Пуассона сопряженных полиномиальных рядов по системе многочленов Чебышева первого рода. Установлены оценки приближений, а также асимптотическое выражение мажоранты приближений. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение при чтении спецкурсов на математических факультетах и для решения конкретных задач вычислительной математики.

1. Пыхтеев, Г. Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типа Коши / Г. Н. Пыхтеев // Приклад. математика и механика. – 1959. – Т. 23, № 6. – С. 1074–1082.

2. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Физматлит, 1958. – 543 с.

3. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – 3-е изд. – М.: Наука, 1968. – 513 с.

4. Butzer, P. L. The Operational Properties of the Chebyshev Transform. II. Fractional Derivatives / P. L. Butzer, R. L. Stens // Теория приближения функций: Междунар. конф. по теории приближения функций, Калуга, 24–28 июля 1975 г.: труды. – М.: Наука, 1977. – С. 49–61.

5. Моторный, В. П. Приближение некоторых классов сингулярных интегралов алгебраическими многочленами / В. П. Моторный // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, № 3. – С. 331–345.

6. Мисюк, В. Р. Сопряженные функции на отрезке и соотношения для их наилучших равномерных полиномиальных приближений / В. Р. Мисюк, А. А. Пекарский // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2015. – № 2. – С. 37–40.

7. Priwaloff, J. Sur les fonctions conjuguees / J. Priwaloff // Bull. Soc. Math. Fr. – 1916. – Vol. 44. – P. 100–103. https://doi.org/10.24033/bsmf.965

8. Привалов, И. И. К теории сопряженных тригонометрических рядов / И. И. Привалов // Мат. сб. – 1923. – № 2. – C. 224–228.

9. Kolmogoroff, A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier / A. Kolmogoroff // Fundam. Math. – 1925. – Vol. 7. – P. 24–29. https://doi.org/10.4064/fm-7-1-24-29

10. Riesz, M. Les fonctions conjuguées et les series de Fourier / M. Riesz // C. R. Acad. Sci. – 1924. – Vol. 178. – P. 1464–1467.

11. Riesz, M. Sur les fonctions conjuguees / M. Riesz // Math. Z. – 1927. – Vol. 27, № 1. – P. 218–244. https://doi.org/10.1007/bf01171098

12. Бари, Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций / Н. К. Бари // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1955. – Т. 19, № 5. – С. 285–302.

13. Стечкин, С. Б. О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометрическими полиномами / С. Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1956. – Т. 20, № 2. – С. 197–206.

14. Русак, В. Н. Равномерная рациональная аппроксимация сопряженных функций / В. Н. Русак, И. В. Рыбаченко // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2013. – №. 3. – С. 83–86.

15. Натансон, И. П. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона / И. П. Натансон // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 72, № 1. – С. 11–14.

16. Тиман, А. Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегралами Пуассона. / А. Ф. Тиман // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 74, № 1. – С. 17–20.

17. Штарк, Э. Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из Lip1 от сингулярного интеграла Абеля – Пуассона / Э. Л. Штарк // Мат. заметки. – 1973. – Т. 13, № 1. – С. 21–28.

18. Жук, В. В. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи средних Фейера и Пуассона ее ряда Фурье / В. В. Жук // Мат. заметки. – 1968. – Т. 4, № 1. – С. 21–32.

19. Русецкий, Ю. И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона / Ю. И. Русецкий // Сиб. мат. журн. – 1968. – Т. 9, № 1. – С. 136–144.

20. Жигалло, Т. В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона – Чебышева / Т. В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. – 2018. – № 3. – С. 1–14.

21. Sz.-Nagy, В. Sur I’ordre de l’approximation d’une fonction par son intégrale de Poisson / В. Sz.-Nagy // Acta Math. Acad. Sci. Huugar. – 1950. – Vol. 1, № 2–4. – P. 183–188. https://doi.org/10.1007/bf02021310

22. Баскаков, В. А. Асимптотические оценки приближения сопряженных функций сопряженными интегралами Абеля – Пуассона / В. А. Баскаков // Применение функционального анализа в теории приближений. – Калинин, 1975. – Вып. 5. – С. 14–20.

23. Жигало, К. М. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу диференцiйовних функцiй множини iх гармонiйних iнтегралiв Пуассона / К. М. Жигало, Ю. И. Харкевич // Укр. мат. журн. – 2002. – Т. 54, № 1. – С. 43–52.

24. Жигало, К. М. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй iх iнтегралами Абеля – Пуассона / К. М. Жигало, Ю. И. Харкевич // Укр. мат. журн. – 2009. – Т. 61, № 1. – С. 73–82.

25. Китбалян, А. А. Разложения по обобщенным тригонометрическим системам / А. А. Китбалян // Изв. АН Армян. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1963. – Т. 16, № 6. – С. 3–24.

26. Джрбашян, М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М. М. Джрбашян // Изв. АН Армян. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9, № 7. – C. 3–28.

27. Rouba, Y. On one system of rational Chebyshev – Markov fractions / Y. Rouba, P. Patseika, K. Smatrytski // Anal. Math. – 2018. – Vol. 44, № 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7

28. Ровба, Е. А. Приближения сопряженных функций частичными суммами сопряженных рядов Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова / Е. А. Ровба, П. Г. Поцейко // Изв. вузов. Математика. – 2020. – № 9. – С. 68–84.

29. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 1970. – Т. 2. – 800 с.