Реализация асинхронного режима в линейной периодической системе с нетривиальным левым нижним блоком усреднения матрицы коэффициентов

Рассматривается линейная система управления с периодической матрицей коэффициентов и программным управлением. Матрица при управлении постоянная, прямоугольная (число столбцов не превосходит числа строк), и ее ранг не является максимальным, т. е. меньше числа столбцов. Предполагается, что управление является периодическим, при этом модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого управления, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится задача построить такое управление из допустимого множества, которое переводит систему в асинхронный режим, т. е. у системы должны появиться периодические решения, такие что пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей синтеза асинхронного режима. Решение сформулированной задачи существенным образом зависит от структуры среднего значения матрицы коэффициентов. В частности, ее решение известно для систем с нулевым средним, также найдены условия ее разрешимости в случае, когда у матрицы при управлении есть нулевые строки, усреднение матрицы коэффициентов приводится к виду с левым верхним диагональным блоком и нулевыми остальными блоками. В данной работе рассматривается более общий случай с нетривиальным левым нижним блоком. В предположении неполного столбцового ранга матричной функции, составленной из строк осциллирующей части матрицы коэффициентов, построено в явном виде управляющее воздействие, переводящее систему в асинхронный режим.

1. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М.: Наука, 1975. – 495 с.

2. Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Минск: Беларус. навука, 2012. – 407 с.

3. Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, № 1. – P. 37–45.

4. Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. мат. журн. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370.

5. Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.

6. Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2012. – 186 с.

7. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с нулевым средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 31–34.

8. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Тр. Ин-та математики. – 2020. – Т. 28, № 1–2. – С. 11–16.

9. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с матрицей при управлении максимального ранга / А. К. Деменчук // Тр. Ин-та математики. – 2019. – Т. 27, № 1–2. – С. 23–28.

10. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных периодических систем с вырожденным левым верхним диагональным блоком среднего значения матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Тр. Ин-та математики. – 2023. – Т. 31, № 1–2. – С. 44–49.

11. Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо, А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 409–416.

12. Хорн, Р. Матричный анализ: пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Наука, 1989. – 655 с.