DESCRIPTION OF THE LARGEST LYAPUNOV EXPONENT OF LINEAR DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH A PARAMETER-MULTIPLIER
Abstract
The largest Lyapunov exponents of linear differential systems dx/dt = μA(t)x, x∈Rn, t ≥ 0 with the real parameter-multiplier μ are considered. It is proven that a function ƒ: R→R̅
is the largest Lyapunov exponent of some linear differential system with а real parameter-multiplier if and only if it fits the next four conditions: 1) it belongs to the (*,Gδ) Baire class; 2) it vanishes at zero; 3) it is nonnegative on some real semi-axis; 4) if it is not identically equal to +∞ on any real semi-axis, then there exists such a real number b that the inequality ƒ(μ) ≥ bμ holds for all μ∈R.
About the Author
M. V. Karpuk
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk
Belarus
Belarus
References
1. Ляпунов, А. М. Собрание сочинений: в 6 т. / А. М. Ляпунов. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1954–1959. – Т. 2. – 1956.
2. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.
3. Изобов, Н. А. О существовании линейной сингулярной системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 8. – С. 1049–1055.
4. Красовский, С. Г. О спектральных характеристических сигма-множествах четной размерности и положительной меры / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 6. – С. 856–857.
5. Красовский, С. Г. Критерий инвариантности характеристических показателей линейных систем с малым параметром при производной / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39, № 10. – С. 1315–1324.
6. Зубов, В. И. Колебания и волны / В. И. Зубов. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.
7. Хаусдорф, Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. – М.; Л.: ОНТИ, 1937.
8. Куратовский, К. Топология: в 2 т. / К. Куратовский. – М.: Мир, 1966–1969. – Т. 1.– 1966.
9. Карпук, М. В. О старшем показателе Ляпунова линейной дифференциальной системы с параметром-множителем при производной как функции параметра / М. В. Карпук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2014. – № 4. – С. 15–24.
10. Барабанов, Е. А. О множествах неправильности семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1067–1084.
11. Барабанов, Е. А. Строение множеств устойчивости и асимптотической устойчивости семейств линейных дифференциальных систем с параметром-множителем при производной. I / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46, № 5. – С. 611–625.
12. Карпук, М. В. Показатели Ляпунова семейств метризованных векторных расслоений как функции на базе расслоения / М. В. Карпук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 10. – С. 1332–1338.
13. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Мир, 1970.
14. Барабанов, Е. А. Множества правильности и устойчивости однопараметрических семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 4. – С. 67–75.
15. Касабуцкий, А. Ф. О множествах Лебега показателя экспоненциальной устойчивости линейных дифференциальных систем с параметром / А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 4. – С. 58–67.
16. Барабанов, Е. А. Структура множества нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 1986. – Т. 22, № 11. – С. 1843–1853.
17. Барабанов, Е. А. Строение множества характеристических показателей Ляпунова экспоненциально устойчивых квазилинейных систем / Е. А. Барабанов, И. А. Волков // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 1. – С. 3–19.
Review
Views: 707
Email this article 