EXACT EXTREME BOUNDS OF THE BOHL EXPONENTS OF SOLUTIONS TO THE LINEAR DIFFERENTIAL SYSTEM WITH SMALL PERTURBATIONS
Abstract
Using the Cauchy matrix, the formulas for calculation of the linear differential system of the exact upper bound of the upward mobility of the lower Bohl exponents and of the exact lower bound of the downward mobility of the upper Bohl exponents of its solutions under small perturbations of the coefficients of the system are obtained. It is proved that under small perturbations of the coefficients, the first of the mentioned bounds is upward stable, but is downward unstable, and the second one is downward stable, but is upward unstable.
About the Authors
E. A. Barabanov
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk
Belarus
Belarus
A. V. Konyukh
Belarus State Economic University, Minsk
Belarus
Belarus
References
1. Былов, Б. Ф. Почти приводимые системы дифференциальных уравнений / Б. Ф. Былов // Сиб. мат. журн. – 1962. – Т. 3, № 3. – С. 333–359.
2. Миллионщиков, В. М. Структура фундаментальных матриц R-систем с почти периодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 171, № 2. – С. 288–291.
3. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Наука, 1970.
4. Vinograd, R. E. Simultaneous attainability of central Lyapunov and Bohl exponents for ODE linear systems / R. E. Vinograd // Proc. Am. Math. Soc. – 1983. – Vol. 88, N 4. – P. 595–601.
5. Барабанов, Е. А. Равномерные показатели линейных систем дифференциальных уравнений / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 10. – С. 1665–1676.
6. Барабанов, Е. А. Генеральные показатели решений линейных дифференциальных систем как функции начального вектора / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Успехи мат. наук. – 1994. – Т. 49, вып. 4. – С. 94–95.
7. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.
8. Розенвассер, Е. Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е. Н. Розенвассер. – М.: Наука, 1977.
9. Bohе, P. ȔberDifferentialungleichungen / P. Bohе // J. reine und angew. Math. – 1913. – Bd. 144, Hf 4. – S. 284–318.
10. Боль, П. Собрание трудов / П. Боль. – Рига: Зинатне, 1974.
11. Персидский, К. П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений. Часть первая / К. П. Персидский // Изв. физ.-мат. о-ва при Казан. ун-те. 3-я сер. – 1936–1937. – Т. 8. – С.47–85.
12. Персидский, К. П. Избранные труды: в 2 т. / К. П. Персидский. – Алма-Ата: Наука, 1976. – Т. 1: Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей.
13. Крейн, М. Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М. Г. Крейн // Успехи мат. наук. – 1948. – Т. 3, вып.3. – С. 166–169.
14. Крейн, М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М. Г. Крейн. – Киев: Изд-во АН УССР, Ин-т математики, 1964.
15. Миллионщиков, В. М. К спектральной теории неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1968. – Т. 18. – С. 147–168.
16. Czornik, A.. On the spectrum of discrete time-varying linear systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. – 2013. – Vol. 9. – P. 27–41.
17. Czornik, A. Alternative formulae for lower general exponent of discrete linear time-varying systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // J. of the Franklin Inst. – 2015. – Vol. 352. – P. 399–419.
18. Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д. В. Беклемишев – М.: Наука, 1983.
19. Barabanov, E. A. Bohl exponents of linear differential systems / E. A. Barabanov, A. V. Konyukh // Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys. – 2001. – Vol. 24. – P.151–158.
20. Барабанов, Е. А. Показатели Боля линейных дифференциальных систем при убывающих возмущениях / Е. А. Барабанов, С. В. Кузнецов // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2001. – Т. 45, № 3. – С. 7–10.
21. Изобов, Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изобов. – Минск: БГУ, 2006.
22. Виноград, Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р. Э. Виноград // Мат. сб. – 1957. – Т. 42, вып. 2. – С. 207–222.
23. Миллионщиков, В. М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем / В. М. Миллионщиков // Мат. заметки. – 1967. – T. 2, вып. 3. – С. 315–318.
24. Миллионщиков, В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем / В. М. Миллионщиков // Сиб. мат. журн. – 1969. – T. 10, № 1. – С. 99–104.
25. Виноград, Р. Э. Необходимый и достаточный критерий и точная асимптотика устойчивости по первому приближению / Р. Э. Виноград // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 5. – С. 800–813.
26. Изобов, Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. А. Изобов. // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ / ВИНИТИ. – М., 1974. – Т. 12. – С. 71–146.
27. Миллионщиков, В. М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 4. – С. 749–750.
28. Серебрякова, Н. Г. Взаимоотношения между генеральными показателями линейных дифференциальных систем / Н. Г. Серебрякова, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Бел. дзярж. пед. ун-та. Сер. 3. – 2014. – № 4. – С. 34–37.
Review
Views:
500
Email this article 