ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ТРЕМЯ ТОЧКАМИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аннотация
Для автономных систем с гладкими правыми частями рассматривается задача точной нелокальной оценки числа предельных циклов в односвязной области вещественной фазовой плоскости, содержащей три простые точки покоя с суммарным индексом Пуанкаре +1. Для решения указанной задачи последовательно строятся две функции
Дюлака – Черкаса, с помощью которых находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие односвязную область на односвязные, двусвязные и, возможно, одну трехсвязную подобласть. Эффективность разработанного подхода продемонстрирована на примерах полиномиальных систем Льенара, для которых доказано существование
в каждой из двусвязных подобластей точно одного предельного цикла, в трехсвязной – точно двух предельных циклов. Установлены конфигурации этих предельных циклов. Полученные результаты могут быть применены в качественной теории и теории бифуркаций обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в теории нелинейных колебаний.
Дюлака – Черкаса, с помощью которых находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие односвязную область на односвязные, двусвязные и, возможно, одну трехсвязную подобласть. Эффективность разработанного подхода продемонстрирована на примерах полиномиальных систем Льенара, для которых доказано существование
в каждой из двусвязных подобластей точно одного предельного цикла, в трехсвязной – точно двух предельных циклов. Установлены конфигурации этих предельных циклов. Полученные результаты могут быть применены в качественной теории и теории бифуркаций обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в теории нелинейных колебаний.
Об авторах
А. А. Гринь
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой
математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры факультета математики и информатики
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой
математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры факультета математики и информатики
А. В. Кузьмич
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Беларусь
c тарший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики
Беларусь
c тарший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики
Список литературы
1. Ilyashenko, Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem / Y. Ilyashenko // Bull. Amer. Math. Soc. – 2002. – Vol. 39. – P. 301–355.
2. Качественная теория динамических систем второго порядка / A. A. Андронов [и др.]. – М.: Наука. 1966. – 568 c.
3. Ye, Y. Theory of limit cycles / Y. Ye // Transl. of AMS Monographs, Providence, RI, 66. – 1986. – P. 435.
4. Qualitative theory of differential equations / Z. Zhang [et al.] // Translations of Mathematical monographs. Providence, RI, American Mathematical Society. – 1992. – Vol. 101. – P. 461.
5. Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.
6. Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно, 2013. – 489 c.
7. Черкас, Л. А. О функции Дюлака для системы Куклеса / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46. № 6. – С. 811–819.
8. Cherkas, L. A. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems / L. A. Cherkas, А. А. Grin, K. R. Schneider [Electronic resourse] // Electron. J. Qualitative Theory of Differential Equations. – 2011. – N 35. – P. 1–23. – Mode of access: http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/.
9. Кузьмич, А. В. Выделение класса обобщенных систем Куклеса с единственным предельным циклом / А. В. Кузьмич // Вестн. ГрГУ им. Янки Купалы. Сер 2, Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2015. – № 3 (199). – С.18–26.
Рецензия
Просмотров: 828
Послать статью по эл. почте 