ОБ ИНДУКТИВНЫХ РЕШЕТКАХ НАСЫЩЕННЫХ ФОРМАЦИЙ

Аннотация

Все рассматриваемые группы конечны. Символом Fp(G) обозначают наибольшую нормальную p-нильпотентную подгруппу группы G, а символом p(G) – множество всех различных простых делителей порядка группы G. Функции f : ℙ → {формации групп} сопоставляют класс групп LF ( f ) = (G | G / Fp (G) ∈ f (p) для всех p ∈ p(G)). Если формация F такова, что F = LF ( f ) для некоторой функции f, то F называют насыщенной формацией с локальным спутником f. Пусть F – насыщенная формация. Символом F /l F ∩ N обозначают полную решетку всех насыщенных формаций, заключенных между F ∩ N и F, где N – класс всех нильпотентных групп. Для  произвольной полной решетки формаций Q символом Ql обозначается полная решетка всех таких формаций, которые обладают локальным Q-значным спутником. Спутник f называется Q-значным, если все его значения принадлежат Q. Пусть Q – полная решетка формаций. Тогда верхняя грань произвольной совокупности {Fi | i ∈ I} элементов из Ql обозначается через з l ( i | i I) Q ∨ F ∈ . Решетка Ql называется индуктивной (см. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Беларус. навука, 1997), если для любого набора {Fi = LF ( fi ) | i ∈ I } формаций Fi ∈ Ql и для всякого такого набора { fi | i ∈ I } Q‑значных спутников fi, где fi – некоторый внутренний спутник формации Fi, имеет место ( | ) ( ( | )) l i i i I LF f i I Q Q ∨ F ∈ = ∨ ∈ , где символ ∨Q ( fi | i ∈ I ) обозначает такой спутник f, что f (p) является верхней гранью для { fi ( p) | i ∈ I } в Q, если i( ) i I f p ∈  ≠ ∅, и f ( p) = ∅ в противном случае. В настоящей работе доказана следующая
Т е о р е м а. Пусть F – насыщенная формация. Тогда решетка F /l F ∩ N индуктивна.