СПЕКТРАЛЬНАЯ СОГЛАСОВАННОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Исследована спектральная согласованность схемы с весами для уравнения теплопроводности. Поcредством аналогии между частотными характеристиками уравнения теплопроводности и фильтра низкой частоты найдено эквивалентное представление разностной схемы в виде пары рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с компенсированной групповой задержкой. На основе спектральной согласованности получены оценки точности дискретной модели фильтрации. Найдены оптимальные значения коэффициентов фильтра, обеспечивающие минимальную среднеквадратичную погрешность его частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Примечательно, что оптимальное соотношение пространственно-временных шагов сетки в схеме с весами совпадает с соотношением, которое обеспечивает схема фильтрации с коэффициентами, отвечающими минимальной средне-квадратичной погрешности частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Показано, что оптимизированная модель фильтрации обеспечивает многократное уменьшение среднеквадратичной погрешности частотной характеристики (в 5–7 раз) по сравнению с разностной схемой 6-го порядка точности. Значение шага по времени в оптимизированной схеме фильтрации несколько больше, по сравнению с его значением в разностной схеме 6-го порядка точности и стремится к последнему, когда диапазон наилучшего спектрального разрешения стремится к нулю. Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации соотношения шагов сетки в разностных методах для уравнения теплопроводности.

1. Lele, S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S. K. Lele // J. Comput. Phys. – 1992. – Vol. 103, №. 1. – P. 16–42.

2. Tam, C. K. W. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics / C. K. W. Tam, J. C. Webb // J. Comput. Phys. – 1993. – Vol. 107, №. 2. – P. 262–281.

3. Волков, В. М. Консервативные разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами для нелинейных уравнений шредингеровского типа / В. М. Волков // Дифференц. уравнения. – 1993. – т. 29, №. 7. – С. 1156–1162.

4. Сергиенко, а. Г. Цифровая обработка сигналов / А. Г. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 768 с.

5. Improved split-step method for efficient fiber simulations / M. Plura [et al.] // Electron. Lett. – 2001. – Vol. 37, № 5. – P. 286–287.

6. Волков, В. М. Метод дробных шагов с использованием рекурсивных цифровых фильтров для решения нелинейных уравнений Шредингера / В. М. Волков, А. С. Циунчик // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 5. – С. 22–25.

7. Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шредингера на основе методов цифровой обработки сигналов / В. М. Волков, А. Н. Гуревский, И. В. Жукова / Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2015. – № 3. – С. 84–89.

8. Самарский, а. а. теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.

9. Саульев, В. К. О методах повышения точности и двухсторонних приближениях к решению параболических уравнений / В. К. Саульев // Докл. АН СССР. – 1958. – т. 118. – С. 1088.