Исследована спектральная согласованность схемы с весами для уравнения теплопроводности. Поcредством аналогии между частотными характеристиками уравнения теплопроводности и фильтра низкой частоты найдено эквивалентное представление разностной схемы в виде пары рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с компенсированной групповой задержкой. На основе спектральной согласованности получены оценки точности дискретной модели фильтрации. Найдены оптимальные значения коэффициентов фильтра, обеспечивающие минимальную среднеквадратичную погрешность его частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Примечательно, что оптимальное соотношение пространственно-временных шагов сетки в схеме с весами совпадает с соотношением, которое обеспечивает схема фильтрации с коэффициентами, отвечающими минимальной средне-квадратичной погрешности частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Показано, что оптимизированная модель фильтрации обеспечивает многократное уменьшение среднеквадратичной погрешности частотной характеристики (в 5–7 раз) по сравнению с разностной схемой 6-го порядка точности. Значение шага по времени в оптимизированной схеме фильтрации несколько больше, по сравнению с его значением в разностной схеме 6-го порядка точности и стремится к последнему, когда диапазон наилучшего спектрального разрешения стремится к нулю. Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации соотношения шагов сетки в разностных методах для уравнения теплопроводности.

Уравнения и системы, которые записываются в виде L_0u= − u∆+a(ε) δu =f    возникают в разных приложениях и интенсивно изучаются. Входящее в это уравнение произведение δu не определено в классической теории обобщенных функций, поэтому одной из основных задач является придание смысла выражению в левой части уравнения, т. е. фактически построение оператора, который соответствует данному формальному выражению. Это достигается с помощью специальных аппроксимаций оператора умножения на δ-функцию. Для исследования уравнений с δ-образными коэффициентами мы применили подход, основными этапами которого являются: построение аппроксимаций рассматриваемого выражения с помощью операторов конечного ранга; нахождение явного вида резольвенты аппроксимирующего семейства; нахождение предела резольвенты и выделение случаев резонанса, когда предельный оператор не совпадает с –∆; описание спектра построенных предельных операторов; исследование поведения собственных значений аппроксимирующих операторов. Цель настоящей работы заключается в нахождении асимптотики собственных вектор-функций для аппроксимаций, построенных в [2]. Таким образом, основным результатом данного исследования является построение асимптотики собственных вектор-функций в различных случаях резонанса.

Рацыянальныя шэрагі Фур’е былі пабудаваны М. М. Джрбашанам у 1956 г. У прыватнасці, знойдзе-на кампактнае прадстаўленне іх ядра Дзірыхле. На гэтай аснове В. М. Русак увёў рацыянальныя аператары Феера, Джэксана і Вале Пусэна. Частковыя сумы рацыянальных шэрагаў Фур’е, аператары Вале Пусэна і Джэксана знайшлі шырокае прымяненне для адшукання класаў функцый, рацыянальная апраксімацыя якіх лепшая за палінаміяльную ў сэнсе парадку. Рацыянальныя аператары Феера заставаліся недаследаванымі. Таму ўяўляе інтарэс даследаваць іх апраксімацыйныя характарыстыкі для элементарных функцый. Перыядычная функцыя | sin x | адыгрывае практычна такую жа ролю, што і функцыя |x| . У дадзенай рабоце з дапамогай метаду вываду параметра ў камплексную плоскасць атрыманы некаторыя дакладныя і асімптатычныя судачыненні для набліжэнняў функцыі | sin x | з дапамогай рацыянальных аператараў Феера. Паказана ў прыватнасці, што такія набліжэнні адлюстроўваюць асаблівасці рацыянальнай апраксімацыі.

Рассматривается задача выделения систем с возмущенным линейным центром специального вида, имеющих не более одного предельного цикла во всей фазовой плоскости при всех действительных значениях пара-метра возмущения μ. Для решения поставленной задачи предлагается способ построения функций Дюлака – Черкаса в виде полинома второй степени относительно фазовой переменной y, коэффициенты которого гладко зависят от второй фазовой переменной x и непрерывно – от параметра μ. Построение функции Дюлака – Черкаса основано на редукции вспомогательного полинома Φ(x,y,μ) к функции Φ₀(x,μ), зависящей только от переменной x и параметра μ. Предложен регулярный способ такой редукции. Представлены примеры выделенных систем, которые имеют единственный предельный цикл во всей фазовой плоскости.

Задачи о движении свободной частицы в трехмерном пространстве лобачевского интерпретируются как рассеяние пространством. Рассмотрены классический и квантово-механический случаи. Дана механическая интерпретация параллельных прямых пространства лобачевского как траекторий невзаимодействующих материальных точек, вылетевших из точки на бесконечности. В силу свойств параллельных прямых пространства лобачевского их можно рассматривать как траектории частиц, рассеянных на бесконечно удаленной точке. Введено понятие дифференциальных сечений рассеяния в элемент орисферы для классической и квантово-механической задач. Получено аналитическое выражение для дифференциального сечения в квантово-механической задаче. Для вывода данного выражения использовались решения уравнения Шредингера в орисферических координатах. Отмечается, что часть орисферы, секущая пучок параллельных траекторий, может рассматриваться как модель двумерной плоской вселенной в трехмерном пространстве с кривизной – пространстве лобачевского.

Исследовано нерелятивистское уравнение Шредингера для скалярной частицы Кокса с внутренней структурой в присутствии магнитного поля на фоне пространства Лобачевского. Проведено разделение переменных. Уравнение, описывающее движение частицы вдоль оси z, оказывается существенно более сложным, чем при рассмотрении частицы Кокса в пространстве Минковского. Форма графика эффективной потенциальной функции свидетельствует о том, что здесь имеем ситуацию сложного потенциального барьера с необходимостью анализировать прохождение частицы через него. Уравнение приводится к уравнению с шестью регулярными особыми точками. В специально выбранных координатах физическим бесконечностям z = ± ∞ соответствуют особые точки 0 и 1 найденного уравнения. Решения этого уравнения построены в виде степенных рядов, сходимость которых исследована методом Пуанкаре – Перрона. Ряды сходятся во всей физической области переменной z ∈ (-∞,+∞). При рассмотрении обычной частицы в магнитном поле в пространстве Лобачевского возникает более простая задача, также с туннельным эффектом через потенциальный барьер, решаемая точно в терминах гипергеометрических функций.

В работе получены уравнения Эйлера – Лагранжа, описывающие динамику фазового перехода 1-го рода в конфигурационном финслеровом пространстве ленгмюровского монослоя. Развит приближенный метод анализа полученных уравнений, который основан на сочетании аналитического и численного исследований с использованием нулевого приближения при фиксированном времени релаксации и более точного приближения с модельным распределением времен релаксации. Показана гетерогенность динамики системы, что соответствует метастабильному состоянию монослоя при наличии зародышей фаз с различными временами релаксации. Распределение времен релаксации характеризуется наличием максимума, причем его высота зависит от скорости сжатия монослоя. Рост максимума в распределении времен релаксации при повышении скорости сжатия ассоциируется с появлением выраженного плато на изотерме. На этой основе теоретически обосновано характерное поведение изотерм сжатия монослоя в области фазового перехода. Аналитически исследована динамика двумерного фазового перехода при малых скоростях сжатия и проведен сравнительный анализ поведения системы в двух приближениях: в приближении одного времени релаксации и в приближении модельного распределения времен релаксации. Показано, что существование зародышей фаз с различными временами релаксации приводит к появлению эффективной центробежной силы, величина которой зависит от градиента электрокапиллярных сил.

Исследованы особенности акустооптической дифракции бесселева светового пучка (БСП) на бесселевом акустическом пучке (БАП) в поперечно анизотропных кристаллах. Рассмотрена схема акустооптического (АО) взаимодействия, когда ТН-поляризованный (или е-поляризованный) БСП падает на оптически одноосный кристалл в направлении оптической оси с и за счет анизотропной дифракции ТН→ТЕ падающий е-БСП возбуждает в кристалле рассеянный о-БСП. Задача АО дифракции решается для поперечно изотропных кристаллов, цилиндрически симметричная геометрия которых полностью согласована по симметрии с БСП и БАП, распространяющихся вдоль оптической оси, и процесс АО взаимодействия происходит без искажения пространственной структуры пучков. Показано, что в процессе обратного акустооптического рассеяния использование бесселевых световых пучков с большим углом конуса позволяет значительно уменьшить необходимую для выполнения условия продольного синхронизма частоту акустической волны (до значений менее 1 ГГц). Установлено, что эффективность АО взаимодействия БСП и БАП определяется не только интенсивностью акустического поля, продольной волновой расстройкой и длиной взаимодействия, как в случае плоских волн, но и поперечной структурой бесселевых пучков. Эта структура определяет величину интегралов перекрытия и, следовательно, эффективные АО параметры. При выполнении условий продольного и поперечного синхронизмов возможно достижение высокой эффективности дифракции, близкой к единице, а угловая ширина основного максимума составляет при этом величину ~0,5 мрад и возрастает при увеличении акустической мощности. Установлено, что при дифракции БСП происходит трансформация порядка его фазовой дислокации на величину, равную порядку фазовой дислокации БАП. Из-за малой ширины углового спектра рассеянного БСП обратное акустооптическое рассеяние бесселевых световых пучков перспективно для разработки низкочастотных акустооптических фильтров и спектроанализаторов, а свойство самореконструкции поперечной структуры перспективно для применений бесселевых пучков в дефектоскопии.

Проведено численное моделирование электронной структуры квантовой точки, индуцированной электрическим полем наноразмерного дискообразного затвора и находящейся во внешнем магнитном поле. С помощью метода конечных элементов рассчитаны зависимости энергетического спектра электрона от величины магнитного поля и потенциала на затворе. Обнаружено наличие последовательности точек квазипересечения электронных уровней при относительно слабых магнитных полях, а также существование групп близких уровней энергии (электронных оболочек). Показано, что, несмотря на существенное отличие потенциала затвора от параболического потенциала, для качественного описания электронной структуры электрически индуцированной квантовой точки возможно использование модели приповерхностного анизотропного гармонического осциллятора. На основании этой модели описаны закономерности эволюции структуры волновых функций при изменении потенциала затвора и магнитного поля. В частности, модель анизотропного осциллятора позволяет предсказать появление точек квазипересечения электронных уровней при изменении внешних полей, а также квазивырождение состояний с различными значениями проекции орбитального момента импульса.

Исследована возможность придания графеновым пленкам свойств полупроводника в структурах, состоящих из нескольких слоев (гетероструктуры): оксид цинка и графен (ZnO/графен), сульфид цинка и графен (ZnS/графен). Для изучения электронных свойств гетероструктур проведено квантово-механическое моделирование в программном пакете VASP. Посредством моделирования структурных свойств типичного представителя слоистых материалов (черного фосфора) определена эффективность использования поправок к DFT, учитывающих силы Вандер-Ваальса и реализованных в программе VASP и, таким образом, обоснован выбор функционала электронной плотности для гетероструктур. Определены межслоевые расстояния для изучаемых систем с подходящим функционалом электронной плотности (DFT-D2). Для черного фосфора это расстояние равно 3,1 Å, а для гетероструктур – 3,16 Å (ZnO/графен) и 3,45 Å (ZnS/графен). Проведено моделирование, конечной целью которого являлся расчет энергетических зонных диаграмм. Исследовано влияние подложки из цинксодержащих материалов на энергетическую зонную структуру графена. Установлено, что взаимодействие монослоя оксида цинка и графена в гетероструктуре ZnO/графен не приводит к возникновению энергетического зазора в зонной структуре графена. Запрещенная зона графена в структуре ZnS/графен составила 0,35 эВ. Поскольку применяемые для проведения моделирования тФП-методы недооценивают ширину запрещенной зоны, ее экспериментальное значение для исследуемых структур может оказаться выше расчетного.

С использованием одних и тех же n⁺–p диодных структур проведено изучение влияния инжекции электронов в p-область диода на отжиг в ней простейших дефектов междоузельного типа, созданных облучением α-частицами. Обнаружено, что собственные междоузельные атомы Si обладают наиболее высокой чувствительностью к инжекции. При температуре жидкого азота и плотности прямого тока 10–20 мА/см² постоянная времени их отжига составляет единицы секунд. Для активации атомов междоузельного бора при Т ≤ 140 К требуются более высокие плотности прямого тока (≥ 100 мА/см²). В отличие от двух предыдущих случаев, пропускание прямого тока через n⁺–p-переход не только ускоряет, но даже замедляет отжиг междоузельного углерода. Высказано предположение, что только реакции междоузельных атомов, которые характеризуются сильным электрон-фононным взаимодействием, могут быть ускорены в результате рекомбинационных процессов.

На падставе эксперыментальных спектраў выпрамянення для актыўнага пласта святлодыёдаў на аснове гетэраструктур Ga_1–xIn_xAs_ySb_1–y/AlGaAsSb былі атрыманы параметры Варшні тэмпературнай залежнасці шырыні забароненай зоны ў інтэрвале тэмператур 10–300 К, а таксама тэмпературная залежнасць велічыні энергіі спін-арбітальнага расшчаплення. Для тэмператур 10–80 К працэсам, што абмяжоўвае рост інтэнсіўнасці выпрамянення, з’яўляецца працэс ажэ-рэкамбінацыі, для якога энергія рэкамбінацыі электронна-дзіркавай пары перадаецца дзірцы з пераходам апошняй у спін-арбітальную зону. З павышэннем тэмпературы больш за 100 К адбываецца рост каэфіцыента ажэ-рэкамбінацыі для працэсу з удзелам двух электронаў і цяжкай дзіркі, які суправаджаецца ўзбуджэннем электрона з яго пераходам у высокаэнергетычны стан у зоне праводнасці. Сума гэтых працэсаў абумоўлівае тушэнне выпрамянення з павелічэннем тэмпературы больш за 150 К.