ВЫДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ С ВОЗМУЩЕННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ЦЕНТРОМ, ИМЕЮЩИХ НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА
Аннотация
Рассматривается задача выделения систем с возмущенным линейным центром специального вида, имеющих не более одного предельного цикла во всей фазовой плоскости при всех действительных значениях пара-метра возмущения μ. Для решения поставленной задачи предлагается способ построения функций Дюлака – Черкаса в виде полинома второй степени относительно фазовой переменной y, коэффициенты которого гладко зависят от второй фазовой переменной x и непрерывно – от параметра μ. Построение функции Дюлака – Черкаса основано на редукции вспомогательного полинома Φ(x,y,μ) к функции Φ0(x,μ), зависящей только от переменной x и параметра μ. Предложен регулярный способ такой редукции. Представлены примеры выделенных систем, которые имеют единственный предельный цикл во всей фазовой плоскости.
Об авторах
А. В. Кузьмич
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики
А. А. Гринь
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы
Беларусь
Беларусь
доктор физико- математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры факультета математики и информатики
Список литературы
1. Теория бифуркации динамических систем на плоскости / А. А. Андронов [и др.]. – М.: Наука, 1967.– 488 с.
2. Han, M. Normal Forms, Melnikov Functions and Bifurcation of Limit Cycles / M. Han, P. Yu // Appl. Math. Sci. – 2012. – Vol. 181. – P. 401.
3. Куклес, И. С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра / И. С. Куклес // Докл. АН СССР.– 1944.– т. 42, № 5. – С. 208–211.
4. Limit cycles for the Kukles system / H. Zang [et al.] // J. Dynamical and Control Systems. – 2008. – Vol. 14, № 2. – P. 283–298.
5. Гринь, А. А. Функция Дюлака для систем Льенара / А. А. Гринь, Л. А. Черкас // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2000. – т. 4. – С. 29–38.
6. Черкас, Л. А. О функции Дюлака для системы Куклеса / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2010.– т. 46, № 6.– С. 811–819.
7. Grin, A. A. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems / A. A. Grin, K. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A: Mathematical Analysis. – 2007. – Vol. 14, № 5. – P. 641–656.
8. Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – т. 33, № 5. – С. 689–699.
9. Черкас, Л. А. Об оценке числа предельных циклов системы льенара с малым параметром / Л. А. Черкас, О. Н. Ма лышева // Дифференц. уравнения.– 2011.– т. 47, № 2. – С. 225–230.
10. Grin, A. A. On the construction of a class of generalized Kukles systems having at most one limit cycle / A. A. Grin, K. Schneider // J. Math. Analysis and Applications. – 2013. – Vol. 408, № 2. – P. 484–497.
11. Гринь, А. А. О существовании предельного цикла в одном классе обобщенных систем Куклеса / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Вестн. ГрГУ им. Я. Купалы. Сер. 2, Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2013. – № 3. – С. 33–40.
12. Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 с.
13. Cherkas, L. A. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems / L. A. Cherkas, A. A Grin, K. Schneider [Electronic resourсe] // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. – 2011. – № 35. – P. 1–23. – Mode of access: http://www.math.uszeged.hu/ejqtde/
Рецензия
Просмотров: 670
Послать статью по эл. почте 