НЕУЛУЧШАЕМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ

Основное содержание статьи имеет отношение к классам S-чисел в классификации Малера [1]. Существует ряд результатов по нахождению оценки снизу в теории диофантовых уравнений. К некоторым из них можно отнести оценку снизу при приближении рациональных чисел рациональными; оценку снизу при приближении алгебраических чисел, полученную Лиувиллем; более позднее улучшение результата – теорему Туэ – Зигеля – Рота [2]. Однако все они неэффективны в том смысле, что их доказательство не дает способа подсчета этой оценки. В таком случае данные результаты и их доказательства не подходят для оценки величины решений соответствующих диофантовых уравнений, но их можно использовать для оценки числа решений этих уравнений. В статье с применением методов метрической теории диофантовых приближений рассмотрены индивидуальные и глобальные оценки снизу для многочленов [3]. Получена новая глобальная оценка по неулучшаемости теоремы Дирихле с помощью метрического подхода при нахождении оценки снизу на заданном отрезке для многочленов степени не более n и дополнительным условием на модуль производной этого многочлена.

1. Mahler, K. Über das Maß der Menge aller S¬Zahlen / K. Mahler // Math. Ann. – 1932. – Vol. 106, № 1. – P. 131–139.

2. Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений: пер. с англ. / Дж. В. С. Касселс; под. ред и с доп. А. О. Гельфонда. – М.: Иностр. лит., 1961. – 213 c.

3. Берник, В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов / В. И. Берник // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – Т. 44, вып. 1. – С. 24–25.

4. Шидловский, А. Б. Трансцендентные числа / А. Б. Шидловский. – М.: Наука, 1987. – 447 с.

5. Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – Изд. 3-е. – М.: URSS: Ленанд, 2015. – 224 с.

6. Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – Т. 29, вып. 2. – C. 379–436.

7. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 181 с.

8. Schneider, Th. Einführung in die Transzendenten Zahlen / Th. Schneider. – Springer-Verlag, 1957. – 139 s.