О ЦЕЛОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ РЕШЕНИИ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ Xn = A ДЛЯ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ НАТУРАЛЬНЫХ n

Цель данной работы – исследовать возможность использования аналитических методов для нахождения целых положительных решений нелинейных матричных уравнений вида Xn = A, где А, X – матрицы третьего порядка, n – натуральное число. Элементы исходной матрицы А являются целыми положительными числами. Решаемое уравнение записывалось в виде системы, состоящей из девяти нелинейных уравнений, которая затем решалась аналитическими методами. Предложенная методика решения поставленной задачи предполагает нахождение внедиагональных элементов в общем случае для каждой возможной комбинации диагональных элементов матрицы Х (если необходимо найти матрицу-корень Х, диагональные элементы которой не являются нулевыми). Задача решалась в два этапа. Первый предусматривал нахождение произведений пар, симметричных относительно главной диагонали элементов. На втором этапе для каждой пары внедиагональных элементов матрицы Х составлялась система уравнений, которая включала в себя два соответствующих уравнения для внедиагональных элементов исходной матрицы и уравнение, представляющее собой произведение вычисляемых элементов матрицы Х. Решая полученные таким образом системы для всех трех пар внедиагональных элементов матрицы Х, можно найти последние. Если все рассчитанные внедиагональные элементы представляют собой натуральные числа, то исходная матрица А имеет натуральную матрицу-корень Х. В ходе проведенного исследования соблюдался принцип от простого к сложному, от частного к общему. В связи с этим в данной статье представлена лишь часть полученных результатов: рассматриваются только решения вида

Было показано, что для решения задачи по нахождению целых положительных решений матричного уравнения Xn = A для матриц третьего порядка в случае натуральных n можно использовать аналитические методы. Методику, представленную в статье, можно применять и для нахождения натуральных корней матриц третьего порядка и при больших n.

1. Буснюк, Н. Н. Математическое моделирование / Н. Н. Буснюк, А. А. Черняк. – Минск: Беларусь, 2014. – 214 с

2. Higham, N. J. Newton’s method for the matrix square root / N. J. Higham // Math. Computation. – 1986. – Vol. 46, № 174. – P. 537–549. https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1986-0829624-5

3. Bjorck, A. A Schur method for the square root of a matrix / A. Bjorck, S. Hammarling // Linear Algebra and its Applications. – 1983. – Vol. 52/53. – P. 127–140. https://doi.org/10.1016/0024-3795(83)80010-x

4. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.

5. Якуто, К. Л. Функции от матриц / К. Л. Якуто // Наука – образованию, производству, экономике: материалы XXI (68) Регион. науч.-практ. конф. преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 11–12 февр. 2016 г.: в 2 т. / Витеб. гос. ун-т; редкол.: И. М. Прищепа [и др.]. – Витебск, 2016. – Т. 1. – С. 36–38.

6. Якуто, К. Л. О положительном решении матричного уравнения X2 = A для матриц второго порядка / К. Л. Якуто // Молодость. Интеллект. Инициатива: материалы IV Междунар. науч.-практ. конф. студентов и магистрантов, Витебск, 29 апр. 2016 г. / Витеб. гос. ун-т; редкол.: И. М. Прищепа [и др.]. – Витебск, 2016. – С. 24–25.

7. Якуто, К. Л. Уравнение Хn = А для матриц третьего порядка / К.Л. Якуто // Наука – образованию, производству, экономике: материалы XXII (69) Регион. науч.-практ. конф. преподавателей, науч. сотрудников и аспирантов, Витебск, 9–10 февр. 2017 г.: в 2 т. / Витеб. гос. ун-т; редкол.: И. М. Прищепа [и др.]. – Витебск, 2017. – Т. 1. – С. 45–47.