НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ


https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-2-193-209

Полный текст:


Аннотация

Рассматриваются конечномерные стохастические дифференциальные уравнения с дробными броуновскими движениями, имеющими различные индексы Харста, большие 1/3, и со сносом. Данные разнородные составные компоненты уравнений объединены в единый процесс. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, а интегралы, в свою очередь, являются потраекторными интегралами Губинелли [1] и, таким образом, реализуют известный подход в теории грубых траекторий (rough path) [2]. Указаны условия, обеспечивающие существование и единственность решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Такие условия оказываются достаточными для получения результатов, касающихся непрерывной зависимости от начальных данных. В работе доказывается потраекторная непрерывная зависимость от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Полученный результат не зависит от вероятностных свойств дробных броуновских движений и поэтому легко переносится на произвольные процессы, непрерывные по Гельдеру с показателем, большим 1/3. При этом возникающая в оценке константа получается экспо ненциально зависящей от норм дробных броуновских движений. С учетом последнего факта и доказанного потраекторного результата впоследствии выводится логарифмическая непрерывная зависимость в среднем от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений, представляющая собой основной результат настоящей статьи.

Об авторе

И. В. Качан
Белорусский государственный университет.
Россия

Качан Илья Вадимович – магистрант, ассистент кафедры высшей математики.

пр. Независимости, 4, 220072, г. Минск.



Список литературы

1. Gubinelli, M. Controlling rough paths / M. Gubinelli // J. Functional Analysis. – 2004. – Vol. 216, № 1. – P. 86–140. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.01.002

2. Friz, P. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures / P. Friz, M. Hairer. – Cham, Springer International Publishing Switzerland, 2014. – 263 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-08332-2

3. Nualart, D. Differential equations driven by fractional Brownian motion / D. Nualart, A. Rascanu // Collectanea Mathematica. – 2002. – Vol. 53, № 1. – P. 55–81.

4. Zahle, M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I / Zahle, M. // Probability Theory and Related Fields. – 1998. – Vol. 111, № 3. – P. 333–374. https://doi.org/10.1007/s004400050171

5. Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – № 2. – C. 160–173.

6. Garrido-Atienza, M. J. Asymptotical stability of differential equations driven by Hölder-continuous paths // M. J. Garrido-Atienza, A. Neuenkirch, B. Schmalfuss // J. Dynamics and Differential Equations. – 2017. – Vol. 30, № 1. – P. 359–377. https://doi.org/10.1007/s10884-017-9574-6

7. Large Deviations and Asymptotic Maethods in Finance / P. Friz Cham [et al.]. – Springer International Publishing Switzerland, 2015. – 590 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-11605-1


Дополнительные файлы

Просмотров: 248

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1561-2430 (Print)
ISSN 2524-2415 (Online)