НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

Рассматриваются конечномерные стохастические дифференциальные уравнения с дробными броуновскими движениями, имеющими различные индексы Харста, большие 1/3, и со сносом. Данные разнородные составные компоненты уравнений объединены в единый процесс. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, а интегралы, в свою очередь, являются потраекторными интегралами Губинелли [1] и, таким образом, реализуют известный подход в теории грубых траекторий (rough path) [2]. Указаны условия, обеспечивающие существование и единственность решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Такие условия оказываются достаточными для получения результатов, касающихся непрерывной зависимости от начальных данных. В работе доказывается потраекторная непрерывная зависимость от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Полученный результат не зависит от вероятностных свойств дробных броуновских движений и поэтому легко переносится на произвольные процессы, непрерывные по Гельдеру с показателем, большим 1/3. При этом возникающая в оценке константа получается экспо ненциально зависящей от норм дробных броуновских движений. С учетом последнего факта и доказанного потраекторного результата впоследствии выводится логарифмическая непрерывная зависимость в среднем от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений, представляющая собой основной результат настоящей статьи.

дробное броуновское движение, потраекторный интеграл Губинелли, стохастическое дифференциальное уравнение, интегральная непрерывность, устойчивость

1. Gubinelli, M. Controlling rough paths / M. Gubinelli // J. Functional Analysis. – 2004. – Vol. 216, № 1. – P. 86–140. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.01.002

2. Friz, P. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures / P. Friz, M. Hairer. – Cham, Springer International Publishing Switzerland, 2014. – 263 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-08332-2

3. Nualart, D. Differential equations driven by fractional Brownian motion / D. Nualart, A. Rascanu // Collectanea Mathematica. – 2002. – Vol. 53, № 1. – P. 55–81.

4. Zahle, M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I / Zahle, M. // Probability Theory and Related Fields. – 1998. – Vol. 111, № 3. – P. 333–374. https://doi.org/10.1007/s004400050171

5. Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – № 2. – C. 160–173.

6. Garrido-Atienza, M. J. Asymptotical stability of differential equations driven by Hölder-continuous paths // M. J. Garrido-Atienza, A. Neuenkirch, B. Schmalfuss // J. Dynamics and Differential Equations. – 2017. – Vol. 30, № 1. – P. 359–377. https://doi.org/10.1007/s10884-017-9574-6

7. Large Deviations and Asymptotic Maethods in Finance / P. Friz Cham [et al.]. – Springer International Publishing Switzerland, 2015. – 590 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-11605-1