Обобщение теорем Ролля и Дарбу для функций двух переменных

Как известно, классические теоремы Ролля и Дарбу для функции одной переменной устанавливают существование критической точки по поведению функции на концах отрезка. Возникает вопрос о возможности переноса теорем Ролля и Дарбу для функций двух переменных. Более точно, определяется ли существование критической точки в Ω̅ по поведению функции f на границе ∂Ω области Ω. Как было показано А. И. Перовым, такие обобщения можно получить с помощью понятия вращения. В настоящей работе устанавливаются более глубокие связи между теоремами Ролля, Дарбу и вращением векторного поля на границе  ∂Ω. Также приводятся некоторые новые формулы для вычисления вращения векторного поля на границе ∂Ω, на основе которых сформулированы утверждения о существовании критических точек.

1. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Гостехтеоретиздат, 1949. – Т. 1. – 690 с.

2. Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. – 332 с.

3. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский [и др.]. – М.: Физматгиз, 1963. – 245 с.

4. Красносельский, М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 512 с.

5. Перов, А. И. Об одном обобщении теоремы Ролля / А. И. Перов // Тр. семинара по функцион. анализу. – Воронеж: Воронеж. ун-т, 1958. – Вып. 6. – С. 94–98.