Метод итерации решения некорректных уравнений с приближенным оператором в случае априорного выбора параметра регуляризации

Аннотация. Указан объект исследования – некорректные задачи, описываемые операторными уравнениями I рода. Предмет исследования – явный итерационный метод решения уравнений I рода. Цель работы заключается в доказательстве сходимости предложенного метода простых итераций с попеременно чередующимся шагом и получении оценок погрешности в исходной норме гильбертова пространства для случаев самосопряженной и несамосопряженной задач. Априорный выбор параметра регуляризации изучается для истокообразно представимого решения в предположении, что оператор и правая часть уравнения заданы приближенно. Достижение поставленной цели выражено в четырех приведенных и доказанных теоремах: записано уравнение I рода и предлагается новый явный метод простой итерации с попеременно чередующимся шагом для его решения; рассматривается случай самосопряженной задачи; доказана теорема 1 о сходимости метода и теорема 2, в которой получена оценка погрешности (для получения оценки погрешности потребовалось дополнительное условие – требование истокопредставимости точного решения); решается несамосопряженная задача, доказана сходимость предложенного метода, который в этом случае запишется по-другому, и получена его оценка погрешности в случае априорного выбора параметра регуляризации. Полученные оценки погрешности оптимизированы, т. е. найдено значение n_опт – номер шага итерации, при котором оценка погрешности минимальна. Поскольку некорректные задачи постоянно возникают в многочисленных приложениях математики, то проблема их изучения и построения методов их решения является актуальной. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении операторных уравнений I рода, а также прикладных некорректных задач, встречающихся в динамике и кинетике, математической экономике, геофизике, спектроскопии, системах полной автоматической обработки и интерпретации экспериментов, диагностике плазмы, сейсмике и медицине.

1. Landweber, L. An iteration formula for Fredholm integral equations of the first kind / L. Landweber // Am. J. Math. – 1951. – Vol. 73, № 3. – P. 615–624. https://doi.org/10.2307/2372313

2. Константинова, Я. В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений I рода / Я. В. Константинова, О. А. Лисковец // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 1973. – № 1. – С. 9–15.

3. Bialy, H. Iterative Behandlung linearer funktions gleichungen / H. Bialy // Arch. Ration. Much. Anal. – 1959. – Vol. 4, № 1. – P. 166–176. https://doi.org/10.1007/bf00281385

4. Лисковец, О. А. Сходимость в энергетической норме итеративного метода для уравнений I рода / О. А. Лисковец, В. Ф. Савчук // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1976. – № 2. – С. 19–23.

5. Емелин, И. В. К теории некорректных задач / И. В. Емелин, М. А. Красносельский // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 244, № 4. – C. 805–808.

6. Емелин, И. В. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач / И. В. Емелин, М. А. Красносельский // Автоматика и телемеханика. – 1978. – № 12. – С. 59–63.

7. Вайникко, Г. М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г. М. Вайникко, А. Ю. Веретенников. – М.: Наука, 1986. – 181 с.

8. Бакушинский, А. Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве / А. Б. Бакушинский // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1967. – Т. 7, № 3. – С. 672–677.

9. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. – Новосибирск: СО АН СССР, 1962. – 92 с.

10. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. – М.: МГУ, 1994. – 207 с.

11. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 480 с.

12. Савчук, В. Ф. Регуляризация операторных уравнений в гильбертовом пространстве / В. Ф. Савчук, О. В. Матысик. – Брест: БрГУ им. А. С. Пушкина, 2008. – 196 с.

13. Матысик, О. В. Явные и неявные итерационные процедуры решения некорректно поставленных задач / О. В. Матысик. – Брест: БрГУ им. А. С. Пушкина, 2014. – 213 с.

14. Матысик, О. В. Итерационная регуляризация некорректных задач / О. В. Матысик. – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. – 188 с.

15. Matysik, O. V. Simple-iteration method with alternating step size for solving operator equations in Hilbert space / O. V. Matysik, M. M. Van Hulle // J. Comp. Appl. Math. – 2016. – Vol. 300. – P. 290–299. https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.12.037