Преобразование Маркова – Стилтьеса мер и некоторые его приложения

В предшествующих работах А. Р. Миротина и автора статьи исследовались свойства преобразования Маркова – Стилтьеса функций в пространствах Харди и Лебега. Данная работа посвящена изучению преобразования Маркова – Стилтьеса мер c точки зрения теории функций и теории интегральных преобразований. Доказана голоморфность данного преобразования в комплексной области с разрезом вдоль луча [1,+∞), теорема единственности. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых функции могут быть представлены в виде преобразований Маркова – Стилтьеса положительных и знакопеременных мер. Доказаны формула обращения и теорема непрерывности. Исследованы предельные значения преобразования Маркова – Стилтьеса мер на границе области, в частности, установлены аналоги формул Сохоцкого – Племеля. Кроме того, изучаются граничные значения преобразования Маркова – Стилтьеса меры μ, точнее, как эти граничные значения отражают свойства меры μ. Указаны приложения полученных результатов к теории самосопряженных операторов: получен ряд утверждений о граничном поведении резольвенты без использования спектральной теоремы. Установленные результаты могут также найти применение в теории обработки сигналов.

1. Миротин, А. Р. Гармонический анализ на абелевых полугруппах / А. Р. Миротин. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2008. – 207 с.

2. King, F. W. Hilbert transforms: in 2 vol. / F. W. King. – Cambridge University Press, 2009. – Vol. 1. – 858 p. https://doi. org/10.1017/CBO9780511721458

3. Прудников, А. П. Интегралы и ряды: в 3 т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Элементарные функции. – 632 с.

4. Widder, D. V. The Laplace transform / D. V. Widder. – N. J.: Princeton Univ. Press, 1946. – 425 p. https://doi.org/10.1515/9781400876457

5. Крейн, М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. – М.: Наука, 1973. – 552 с.

6. Jaksic, V. Topics in spectral theory / V. Jaksic // Lecture Notes in Mathematics. Open Quantum Systems I. The Hamiltonian Approach. – 2006. – Vol. 1880. – P. 235–312. https://doi.org/10.1007/3-540-33922-1_6

7. Дынькин, Е. М. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики / Е. М. Дынькин, С. В. Кисляков, В. П. Хавин. – М.: ВИНИТИ, 1987. – Т. 15: Коммутативный гармонический анализ-1. – 304 с.

8. Кусис, П. Введение в теорию пространства HP / П. Кусис; под ред. В. П. Хавина. – М.: Мир, 1984. – 368 с.