О приближениях функции |x|^s средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова

Исследуются аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова в приближении функции |x|^s, 0 < s < 2. Приведены основные результаты ранее известных работ о средних Валле Пуссена в полиномиальном и рациональном случаях, а также известные литературные сведения о приближениях функций со степенной особенностью. Вводятся в рассмотрение средние Валле Пуссена на отрезке [–1,1] как метод суммирования рядов Фурье по одной системе рациональных дробей Чебышева – Маркова. Найдено интегральное представление приближений рациональными средними Валле Пуссена функции |x|^s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1], оценка уклонений средних Валле Пуссена от функции |x|^s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонений на отрезке [–1,1] и асимптотическое выражение ее мажоранты. Установлено оптимальное значение параметра, при котором уклонения средних Валле Пуссена от функции |x|^s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1] имеют наиболее высокую скорость стремления к нулю. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача о приближениях функции |x|^s, s > 0, средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе многочленов Чебышева первого рода. Найдены поточечная оценка приближений и асимптотическая оценка.

Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение как при чтении спецкурсов на математических факультетах, так и для решения конкретных задач вычислительной математики.

1. Valleé Poussin, Ch. de La. Sur la meilleure approximation des function d’une variable reelle par des expressions d’ordre donne / Ch. de La Valleé Poussin // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I: Math. – 1918. – Vol. 166. – P. 799–802.

2. Valleé Poussin, Ch. de La. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle / Ch. de La Valleé Poussin. – Paris, 1919. – 150 p.

3. Никольский, С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами / С. М. Никольский // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1940. – Т. 4, вып. 6. – C. 509–520.

4. Стечкин, С. Б. О суммах Валле Пуссена / С. Б. Стечкин // Докл. Акад. наук СССР. – 1951. – Т. 80, № 4. – С. 545–548.

5. Теляковский, С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Валле Пуссена / С. А. Теляковский // Докл. Акад. наук СССР. – 1958. – Т. 121, № 3. – C. 426–429.

6. Ефимов, А. В. О приближении периодических функций суммами Валле Пуссена / А. В. Ефимов // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1959. – Т. 23, вып. 5. – С. 737–770.

7. Тиман, А. Ф. Обобщение некоторых результатов А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского / А. Ф. Тиман // Докл. Акад. наук СССР. – 1951. – Т. 81, № 4. – С. 509–511.

8. Ганзбург, И. М. Обобщение некоторых результатов С. М. Никольского и А. Ф. Тимана / И. М. Ганзбург // Докл. Акад. наук СССР. – 1957. – Т. 116, № 5. – С. 727–730.

9. Ганзбург, И. М. Линейные процессы приближения функций, удовлетворяющих условию Липшица, алгебраическими многочленами / И. М. Ганзбург, А. Ф. Тиман // Изв. Аакад. наук СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, вып. 6. – C. 771–810.

10. Оматаев, Т. О. О приближении непрерывных на отрезке функций усеченными суммами Влле Пуссена / Т. О. Оматаев // Изв. вузов. Мат. – 1977. – № 6. – С. 99–106.

11. Русак, В. Н. Об одном методе приближения рациональными функциями на вещественной оси / В. Н. Русак // Мат. заметки. – 1977. – Т. 22. – № 3. – С. 375–380.

12. Русак, В. Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В. Н. Русак // Мат. сб. – 1985. – Т. 128, № 4. – С. 492–515.

13. Гриб, Н. В. Операторный метод приближения функций ограниченной вариации / Н. В. Гриб // Вес. БДПУ. Сер. 3, Фізіка. Матэматыка. Інфарматыка. Біялогія. Геаграфія. – 2015. – № 2. – С. 28–35.

14. Ровба, Е. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана – Лиувилля, рациональными операторами / Е. А. Ровба // Докл. Акад. наук Беларуси. – 1996. – Т. 40, № 6. – С. 18–22.

15. Смотрицкий, К. А. О приближении функций ограниченной вариации рациональными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2005. – № 2. – С. 60–68.

16. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x| p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1938 – Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.

17. Varga, R. S. Some numerical results on best uniform rational approximation of x a on [0,1] / R. S. Varga, A. J. Carpenter // Numer. Algorithms. – 1992. – Vol. 2, № 2. – P. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02145384

18. Райцин, Р. А. Асимптотические свойства равномерных приближений функций с алгебраическими осо бенностями частичными суммами ряда Фурье – Чебышева / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Мат. – 1980. – № 3. – С. 45–49.

19. Rouba, Y. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions / Y. Rouba, P. Patseika, K. Smatrytski // Anal. Math. – 2018. – Vol. 44, № 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7

20. Поцейко, П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции |x| s на отрезке [–1,1] / П. Г. Поцейко // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2019. – Т. 9, № 2. – С. 22–38.

21. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 480 с.

22. Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. – М.: Наука, 1979. – 320 с.

23. Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Либроком, 2015. – 544 с.

24. Copson, E. T. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No 55. Asymptotic Expansions / E. T. Copson. – Cambridge, 1965. – 124 p.

25. Ровба, Е. А. Константы в приближении функции |x| интерполяционными рациональными процессами / Е. А. Ровба, Е. Г. Микулич // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 6. – С. 11–15.