Свойства и параметры обобщенных кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема

Семейство линейных циклических кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ-кодов) относится к классу наиболее популярных в теории и наиболее массовых в практическом применении помехоустойчивых кодов. Их тесная связь с теорией полей Галуа позволила создать для БЧХ-кодов теорию норм синдромов – синдромных инвариантов Г-орбит ошибок, развить теорию полиномиальных инвариантов G-орбит ошибок. Данная теория в целом послужила основой разработки эффективных перестановочных полиномиально-норменных методов и алгоритмов коррекции ошибок, на порядок снижающих влияние проблемы селектора. На сегодняшний день эти методы представляют единственный подход к коррекции ошибок непримитивными БЧХ-кодами, кратность которых выходит за пределы конструктивных границ.
Настоящая работа посвящена определению и исследованию помехоустойчивых обобщенных двоичных кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (ОБЧХ-кодов). Произведена достаточно точная оценка количества этих кодов каждой конкретной длины. Установлен ряд свойств и взаимосвязей ОБЧХ-кодов. Наиболее подробно рассмотрены ОБЧХкоды с конструктивным расстоянием три и пять, так как подобные коды чаще всего и используются на практике. Дано их практически полное описание в диапазоне длин от 7 до 107. Работа содержит достаточно четкую теоретическую классификацию ОБЧХ-кодов. Особое внимание уделено корректирующим возможностям кодов данного класса – расчету минимальных расстояний этих кодов с различными параметрами. Найдены коды, корректирующие возможности которых существенно превосходят таковые у известных БЧХ-кодов с теми же конструктивными параметрами.

1. Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки: пер. с англ. / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. А. Слоэн. – М.: Связь, 1979. – 744 с.

2. Блейхут, Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки / Р. Блейхут. – М.: Мир, 1986. – 576 с.

3. Липницкий, В. А. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения / В. А. Липницкий, В. К. Конопелько. – Минск: Изд. центр БГУ, 2007. – 216 c.

4. Липницкий, В. А. Теория норм синдромов и плюс-декодирование / В. А. Липницкий, А. О. Олексюк // Докл. БГУИР. – 2014. – № 8. – С. 71–78.

5. Кушнеров, А. В. Обобщенные коды Боуза – Чоудхури – Хоквингема / А. В. Кушнеров, В. А. Липницкий, М. Н. Королева // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С, Фундамент. науки. – 2018. – № 4. – С. 28–33.

6. Лидл, Р. Конечные поля: в 2 т.: пер. с англ. / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. – М.: Мир, 1988. – 822 с.

7. Липницкий, В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа / В. А. Липницкий. – 2-е изд. – Минск: БГУИР, 2006. – 88 с.

8. Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. – М.: Наука, 1972. – 168 с.

9. Липницкий, В. А. Оценка минимальных расстояний непримитивных кодов Хемминга / В. А. Липницкий, А. О. Олексюк // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2015. – № 2. – С. 103–110.

10. Липницкий, В. А. Теория норм синдромов / В. А. Липницкий. – Минск: БГУИР, 2011. – 96 с.