Об одном интерполяционном рациональном процессе Фейера – Эрмита

Целью данной работы является изучение нового подхода к определению интерполяционного процесса Фейера – Эрмита с узлами Чебышева – Маркова первого рода на отрезке и описание некоторых его аппроксимационных свойств. Проведен краткий анализ результатов по теме исследования – построению интерполяционных процессов, в частности Фейера – Эрмита, в полиномиальной и рациональной аппроксимации. Предложен новый способ определения интерполяционного рационального процесса Фейера – Эрмита. Один из основных результатов работы состоит в доказательстве равномерной сходимости указанного процесса для произвольной непрерывной на отрезке функции при некоторых ограничениях на полюсы аппроксимирующих функций. Этому результату предшествуют некоторые вспомогательные утверждения, описывающие свойства специальных рациональных функций. Для доказательства используются классические методы математического анализа, теории приближений и теории функций комплексного переменного. Кроме того, проводится численный анализ эффективности использования построенного интерполяционного процесса Фейера – Эрмита для приближения функции, отражающей особенности рациональной аппроксимации. При этом выбор параметров, от которых зависят узлы интерполирования, производится несколькими стандартными способами. Полученные результаты могут быть применены для дальнейшего исследования аппроксимационных свойств интерполяционных процессов.

приближение, интерполяция, рациональные функции, процесс Фейера – Эрмита, дробь Чебышева – Маркова

1. Szabados, J. Interpolation of functions / J. Szabados, P. Vertesi. – World Scientific, 1990. – 305 p. https://doi.org/10.1142/0861

2. DeVore, R. Constructive approximation / R. DeVore, G. Lorentz. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. – 452 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02888-9

3. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. – М.: Физматгиз, 1959. – 328 с.

4. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.

5. Mills, T. Some techniques in approximation theory / T. Mills // Math. Sci. – 1980. – № 5. – P. 105–120.

6. Ровба, Е. А. О константе Лебега интерполяционных рациональных процессов Лагранжа по узлам Чебышева – Маркова / Е. А. Ровба, Е. В. Дирвук // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2015. – № 4. – С. 32–38.

7. Русак, В. Н. Синус-дроби Чебышева – Маркова в приближенном интегрировании / В. Н. Русак, Н. В. Гриб // Вес. БДПУ. Сер. 3, Фізіка. Матэматыка. Інфарматыка. Біялогія. Геаграфія. – 2015. – № 2. – С. 17–20.

8. Ровба, Е. А. Сходимость в среднем интерполяционных рациональных процессов в нулях дробей Бернштейна // Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2010. – № 3. – С. 5–9.

9. Min, G. Lobbatto-type quadrature formula in rational space / G. Min // J. Comput. Appl. Math. – 1998. – Vol. 94, № 1. – P. 1–12. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(98)00068-5

10. Rouba, Y. Rational quasi-Hermite-Fejer-type interpolation and Lobatto-type quadrature formula with ChebyshevMarkov nodes / Y. Rouba, K. Smatrytski, Y. Dirvuk // Jaen J. Approximation. – 2015. – Vol. 7, № 2. – P. 291–308.

11. Русак, В. Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В. Н. Русак // Докл. Акад. наук БССР. – 1962. – Т. 4, № 9. – С. 548–550.

12. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: БГУ, 1979. – 176 с.