Целью данной работы является изучение нового подхода к определению интерполяционного процесса Фейера – Эрмита с узлами Чебышева – Маркова первого рода на отрезке и описание некоторых его аппроксимационных свойств. Проведен краткий анализ результатов по теме исследования – построению интерполяционных процессов, в частности Фейера – Эрмита, в полиномиальной и рациональной аппроксимации. Предложен новый способ определения интерполяционного рационального процесса Фейера – Эрмита. Один из основных результатов работы состоит в доказательстве равномерной сходимости указанного процесса для произвольной непрерывной на отрезке функции при некоторых ограничениях на полюсы аппроксимирующих функций. Этому результату предшествуют некоторые вспомогательные утверждения, описывающие свойства специальных рациональных функций. Для доказательства используются классические методы математического анализа, теории приближений и теории функций комплексного переменного. Кроме того, проводится численный анализ эффективности использования построенного интерполяционного процесса Фейера – Эрмита для приближения функции, отражающей особенности рациональной аппроксимации. При этом выбор параметров, от которых зависят узлы интерполирования, производится несколькими стандартными способами. Полученные результаты могут быть применены для дальнейшего исследования аппроксимационных свойств интерполяционных процессов.

Объектом исследования в настоящей работе является автономная система ван дер Поля на вещественной плоскости. Предметом исследования выступают свойства предельного цикла указанной системы. Основная цель предлагаемой статьи состоит в нахождении локализации предельного цикла на фазовой плоскости и установлении его формы при различных значениях действительного параметра системы ван дер Поля. Наш подход основан на применении трансверсальных кривых, соответствующих функциям Дюлака – Черкаса и аппроксимирующих расположение предельного цикла. В качестве первого шага для системы ван дер Поля были выделены пять топологически эквивалентных систем, включая системы с параметром, поворачивающим векторное поле, и сингулярно возмущенные системы. Затем, применяя ранее разработанный способ, для трех из рассматриваемых систем в фазовой плоскости при всех действительных значениях параметра кроме нулевого построены по две полиномиальные функции Дюлака – Черкаса. С их помощью найдены трансверсальные кривые, образующие границы областей локализации предельного цикла системы ван дер Поля. Таким образом, построенные функции Дюлака – Черкаса позволяют определять расположение предельного цикла на основе алгебраических кривых при всех действительных значениях параметра, включая значения, близкие к бифуркации предельного цикла из овалов центра, бифуркации Андронова – Хопфа и бифуркации из замкнутой траектории, соответствующей разрывному периодическому решению.

В полуполосе на плоскости в случае двух независимых переменных рассмотрена смешанная задача для одномерного волнового уравнения с условиями Коши на основании полуполосы и граничными условиями на боковых частях границы области, в которые входят производные второго порядка. Кроме того, на характеристиках, на которых не выполняются однородные условия согласования, задаются условия сопряжения для искомой функции и ее производных. Методом характеристик найдено классическое решение указанной задачи в аналитическом виде. Доказана его единственность при выполнении соответствующих условий.

Изучено линейное интегро-дифференциальное уравнение первого порядка, заданное на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. Коэффициенты уравнения имеют специальную структуру. Уравнение содержит сингулярный интеграл, понимаемый в смысле главного значения по Коши, и гиперсингулярный интеграл, понимаемый в смысле конечной части по Адамару. Применяется метод аналитического продолжения. Уравнение сводится к последовательному решению краевой задачи Римана и двух линейных дифференциальных уравнений. Задача Римана решается в классе аналитических функций с особыми точками. Дифференциальные уравнения решаются в классе аналитических функций в областях комплексной плоскости. Приводятся в явном виде условия разрешимости исходного уравнения. Решение уравнения при выполнении этих условий также приводится в явном виде. Рассмотрены примеры. Проанализирован неочевидный частный случай.

Рассматривается класс кографов и его подклассы: пороговые графы и анти-регулярные графы. В 2011 г. Х. Бай подтвердил гипотезу Гроне – Меррис о сумме первых k собственных значений лапласиана произвольного графа. Как вариант указанной гипотезы А. Брауэр выдвинул свою гипотезу о верхней оценке этой суммы, которая хотя и была подтверждена для многих классов графов, однако по-прежнему остается открытой. По аналогии с гипотезой Брауэра в 2013 г. Ф. Ашрафом и другими была предложена гипотеза для суммы k собственных значений беззнакового лапласиана, которая также была впоследствии подтверждена для некоторых классов графов, но остается открытой. В настоящей работе для рассматриваемых нами классов графов подтверждается аналог гипотезы Брауэра для собственных значений их беззнакового лапласиана при некоторых натуральных значениях k, не превосходящих порядка рассматриваемых графов.

Объектом исследования являются дифференциальные уравнения четвертого порядка. Цель работы – изучение аналитических свойств решений данных дифференциальных уравнений. Указан общий вид рассматриваемых уравнений, а также обоснован выбор объекта исследования. Проведено изучение дифференциальных уравнений четвертого порядка, у которых нет наборов резонансов таких, чтобы все нетривиальные резонансы были положительными. Три из этих уравнений удовлетворяют условиям отсутствия у решений подвижных многозначных особых точек, а для следующих трех решения соответствующих им упрощенных уравнений имеют подвижные особые точки многозначного характера. Также исследованы аналитические свойства еще одного дифференциального уравнения четвертого порядка другого общего вида, для которого также можно построить двухпараметрическое рациональное решение, так как в соответствующем ему наборе резонансов есть нетривиальный отрицательный резонанс. Найдены первые интегралы указанных уравнений и по отрицательным нетривиальным резонансам построены их рациональные решения. При исследовании применялся метод резонансов. Полученные результаты могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений.

Опираясь на определение центра масс, данное в работах [1, 2], постулируется его неподвижность в пространствах постоянной кривизны и рассматривается задача двух частиц с внутренним взаимодействием, которое описывается потенциалом, зависящим от расстояния между ними на трехмерной сфере. Такой подход, обоснованный отсутствием принципа, подобного принципу Галилея, с одной стороны, и свойством изотропности пространства – с другой, позволяет рассматривать задачу в системе покоя центра масс, что автоматически обеспечивает зависимость только от относительных переменных рассматриваемых точек. Сформулировано уравнение Гамильтона – Якоби задачи и найдены его решения и уравнения траекторий. Показано, что приведенная масса системы зависит от относительного расстояния. С учетом данного обстоятельства выписана модифицированная метрика системы

Хорошо известно уравнение для частицы со спином 3/2, предложенное В. Э. Паули и М. Э. Фирцем и основанное на использовании 16-компонентной волновой функции с трансформационными свойствами вектор-биспинора. В настоящей работе исследован вопрос о нерелятивистском приближении в этой теории. Исходя из формализма уравнений 1-го порядка и представления системы уравнений Паули – Фирца в базисе Петраша с использованием метода обобщенных символов Кронекера и элементов полной матричной алгебры, а также применяя для разложения волновой функции на большие и малые составляющие метод проективных операторов, выведено уравнение паулиевского типа для 4-компонентной волновой функции, описывающей нерелятивистскую частицу со спином 3/2.

В рамках общего формализма Гельфанда – Яглома исследуется теория Фрадкина для частицы со спином 3/2 в присутствии внешних полей. С помощью стандартных требований релятивистской инвариантности, P-симметрии, существования функции Лагранжа для развиваемой модели сначала выведен набор спинорных уравнений при отсутствии внешних полей. Волновая функция эквивалента набору из биспинора и вектор-биспинора. Показывается, что в свободном случае теория Фрадкина может быть приведена к теории Паули – Фирца. При учете внешних электромагнитных полей теория Фрадкина может быть приведена к минимальной форме уравнения для основного биспинора. Полученное уравнение содержит дополнительный член взаимодействия через тензор F_αβ электромагнитного поля, при этом появляется параметр в уравнении Фрадкина, соотносимый с некоторой дополнительной к заряду характеристикой частицы. Теория обобщается, для того чтобы учесть псевдориманову структуру пространства-времени. В общековариантном случае появляется дополнительный член взаимодействия через тензор Риччи R_αβ. При нулевом электрическом заряде частицы теория Фрадкина остается корректной и описывает майорановскую частицу со спином 3/2, неминимально взаимодействующую со структурой пространства-времени через тензор Риччи. Чтобы прояснить физический смысл дополнительного параметра Фрадкина, отличающего ее от модели Паули – Фирца, исследуем нерелятивистское приближение в обеих моделях во внешнем однородном магнитном поле, два различающихся спектра энергии найдены в явном виде. Структура нерелятивистского уравнения позволяет рассматривать дополнительный параметр как поляризуемость.

Исследуется эволюция потока нейтрино, проходящего через конденсированное вещество и интенсивное магнитное поле. В качестве примера интенсивного магнитного поля рассматривается магнитное поле спаренных солнечных пятен, которые являются источниками солнечных вспышек. Предполагается, что нейтрино обладает дипольным магнитным и анапольным моментами, в то время как магнитное поле является скрученным, носит непотенциальный характер и его напряженность может быть ≥10⁵ Гс. Проблема исследуется в рамках трех нейтринных поколений. Изучаются возможные резонансные переходы в нейтринном потоке.

Совмещение в оптической схеме сильно различающихся элементов, таких как аксиконы и сферические линзы, позволяет формировать световые поля, которые отличаются многообразием свойств. Простейший пример такой схемы состоит из аксикона и пространственно разнесенной сферической линзы. Хотя данная схема исследовалась ранее, однако неизученной остается область так называемой вторичной фокусировки, расположенная за хорошо известным кольцевым фокусом. В работе проведен аналитический и численный расчеты светового поля в области вторичной фокусировки. Определены границы этой области и рассчитано продольное и поперечное распределение интенсивности света. Показано, что ближняя зона области вторичной фокусировки формируется в режиме скачкообразной автофокусировки кольцевого поля. Установлено, что поперечное распределение интенсивности в дальней зоне является в общем случае суперпозицией кольцевого поля и осциллирующего поля осевого типа. Определено расстояние между аксиконом и линзой, когда кольцевая компонента поля практически исчезает. Показано, что в этом случае световое поле в области вторичной фокусировки является локально бесселевым световым пучком. Особенность этого пучка заключается в том, что его угол конуса зависит от продольной координаты, а именно, уменьшается обратно пропорционально расстоянию z от начала области. Важным свойством таких z-зависящих бесселевых пучков является отсутствие их трансформации в кольцевые поля, как это происходит для традиционных бесселевых или Бессель-гауссовых пучков в дальней зоне. Это открывает перспективу использования z-зависящих бесселевых пучков для целей оптической связи в свободном пространстве и дистанционного зондирования.

20 августа 2020 г. исполнилось 75 лет со дня рождения известного ученого в области радиационной физики твердого тела, микроэлектроники, рентгеновской и гамма-оптики, нанотехнологий, организатора науки и педагога, члена-корреспондента Национальной академии наук Беларуси, доктора физико-математических наук, профессора Ф. Ф. Комарова.