Функции Дюлака – Черкаса для систем, эквивалентных уравнению ван дер Поля

Объектом исследования в настоящей работе является автономная система ван дер Поля на вещественной плоскости. Предметом исследования выступают свойства предельного цикла указанной системы. Основная цель предлагаемой статьи состоит в нахождении локализации предельного цикла на фазовой плоскости и установлении его формы при различных значениях действительного параметра системы ван дер Поля. Наш подход основан на применении трансверсальных кривых, соответствующих функциям Дюлака – Черкаса и аппроксимирующих расположение предельного цикла. В качестве первого шага для системы ван дер Поля были выделены пять топологически эквивалентных систем, включая системы с параметром, поворачивающим векторное поле, и сингулярно возмущенные системы. Затем, применяя ранее разработанный способ, для трех из рассматриваемых систем в фазовой плоскости при всех действительных значениях параметра кроме нулевого построены по две полиномиальные функции Дюлака – Черкаса. С их помощью найдены трансверсальные кривые, образующие границы областей локализации предельного цикла системы ван дер Поля. Таким образом, построенные функции Дюлака – Черкаса позволяют определять расположение предельного цикла на основе алгебраических кривых при всех действительных значениях параметра, включая значения, близкие к бифуркации предельного цикла из овалов центра, бифуркации Андронова – Хопфа и бифуркации из замкнутой траектории, соответствующей разрывному периодическому решению.

автономная система ван дер Поля на плоскости, топологически эквивалентные системы, предельный цикл, функция Дюлака – Черкаса, сингулярно возмущенная система, система с параметром, поворачивающим векторное поле

1. Van der Pol, B. On relaxation-oscillations / B. van der Pol // London, Edinburgh, and Dublin Philos. Mag. J. Sci. – 1926. – Vol. 2, № 11. – P. 978–992. https://doi.org/10.1080/14786442608564127

2. Феномен уравнения ван дер Поля / А. П. Кузнецов [и др.] // Изв. вузов. ПНД. – 2014. – Т. 22, № 4. – С. 3–42.

3. Perko, L. Differential equations and dynamical systems / L. Perko. – Springer-Verlag, 2001. –557 p. – (Texts in Applied Mathematics, Vol. 7). https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0003-8

4. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. А. Андронов [и др.]. – М.: Наука, 1967. – 488 с.

5. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1981. – 568 с.

6. Cao, Y. The estimate of the amplitude of limit cycles of symmetric Lienard systems / Y. Cao, C. Liu // J. Differ. Equations. – 2017. – Vol. 262, № 3. – P. 2025 – 2038. https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.10.034

7. Liénard, A. Etude des oscillations entretenues / A. Liénard // Rev. Gén. Électr. – 1928. – Vol. 23. – P. 901–912.

8. Van der Pol, B. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart / B. van der Pol, J. van der Mark // The London, Edinburgh, and Dublin Philos. Mag. J. Sci. – 1928. – Vol. 6, № 38. – P. 763–992. https://doi.org/10.1080/14786441108564652

9. Мищенко, Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. – М.: Наука, 1975. – 248 с.

10. Grin, А. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems / А. Grin, K. Schneider // Dynamics of Сontinuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. – 2007. – Vol. 14, № 5. – P. 641–656.

11. Cherkas, L. A. Dulac – Cherkas functions for generalized Liénard systems / L. A. Cherkas, A. A. Grin, K. R. Schneider // Electron. J. Qualitative Theory Differential Equations. – 2011. – № 35. – P. 1–23. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2011.1.35

12. Lynch, S. Dynamical Systems with Applications Using Mathematica / S. Lynch. – Boston: Birkhäuser, 2007. – 484 p. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4586-1

13. Schneider, K. R. New approach to study the van der Pol equation for large damping / K. R. Schneider // Electron. J. Qualitative Theory Differential Equations. – 2018. – № 8. – P. 1–10. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2018.1.8

14. Dumortier, F. Qualitative Theory of Planar Differential Systems / F. Dumortier, J. Llibre, J. C. Artes. – Berlin; Heidelberg: Springer. – 2006. – XVI, 302 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-32902-2

15. Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.

16. Sansone, G. Sopra léquazione di A. Liénard delle oscillazioni di relassamento / G. Sansone // Ann. Math. Pura Appl. – 1949. – Vol. 28, № 1. – P. 153–181. https://doi.org/10.1007/bf02411124