Первые интегралы и рациональные решения некоторых дифференциальных уравнений четвертого порядка

Объектом исследования являются дифференциальные уравнения четвертого порядка. Цель работы – изучение аналитических свойств решений данных дифференциальных уравнений. Указан общий вид рассматриваемых уравнений, а также обоснован выбор объекта исследования. Проведено изучение дифференциальных уравнений четвертого порядка, у которых нет наборов резонансов таких, чтобы все нетривиальные резонансы были положительными. Три из этих уравнений удовлетворяют условиям отсутствия у решений подвижных многозначных особых точек, а для следующих трех решения соответствующих им упрощенных уравнений имеют подвижные особые точки многозначного характера. Также исследованы аналитические свойства еще одного дифференциального уравнения четвертого порядка другого общего вида, для которого также можно построить двухпараметрическое рациональное решение, так как в соответствующем ему наборе резонансов есть нетривиальный отрицательный резонанс. Найдены первые интегралы указанных уравнений и по отрицательным нетривиальным резонансам построены их рациональные решения. При исследовании применялся метод резонансов. Полученные результаты могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений.

дифференциальное уравнение, резонансы, рациональное решение, первый интеграл, мероморфность

1. Ablowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. I / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, № 4. – P. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491

2. Clarkson, P. A. Symmetry and the Chazy Equation / P. A. Clarkson, P. J. Olver // J. Differential Equations. – Vol. 124, № 1. – P. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008

3. Здунек, А. Г. О рациональных решениях дифференциальных уравнений / А. Г. Здунек, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2000. – № 3. – С.33–39.

4. Jrad, F. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painlevé test / F. Jrad, U. Muğan // Z. Naturforsch. A. – 2005. – Vol. 60, № 6. – P. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601

5. Соболевский, С. Л. Подвижные особые точки решений обыкновенных дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / С. Л. Соболевский. – Минск, 2008. – 28 с.

6. Мартынов, И. П. О дифференциальных уравнениях с неподвижными критическими особыми точками / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т. 9, № 10. – С. 1780–1791.

7. Ablowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution and ordinary differential equations of P-type. II / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, № 5. – P. 1006–1015. https://doi.org/10.1063/1.524548

8. О некоторых аналитических свойствах решений алгебраических дифференциальных уравнений / Т. Н. Ванькова [и др.] // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2008. – № 1 (64). – С. 8–16.

9. Чжан Биньбинь. О рациональных решениях одного класса неполиномиальных дифференциальных уравнений четвертого порядка / Чжан Биньбинь, И. П. Мартынов // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2018. – Т. 8, № 2. – С. 32–40.

10. Мартынов, И. П. Аналитическая теория нелинейных уравнений и систем / И. П. Мартынов, Н. С. Березкина, В. А. Пронько. – Гродно: ГрГУ, 2009. – 395 с.

11. Ванькова, Т. Н. Аналитические свойства решений некоторых классов дифференциальных уравнений третьего и высших порядков: дис. … канд. физ.-мат.наук: 01.01.02 / Т. Н. Ванькова. – Гродно, 2013. – 105 л.

12. Мартынов, И. П. Об уравнениях третьего порядка без подвижных критических особенностей / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1985. – Т. 21, № 6. – С. 937–946.

13. Колесникова, Н. С. Об одном классе дифференциальных уравнений третьего порядка с неподвижными критическими точками / Н. С. Колесникова, Н. А. Лукашевич // Дифференц. уравнения. – 1972. – Т. 8, № 11. – С. 2082–2086.

14. Third order differential equations with fixed critical points / Y. Adjabi [et al.] // Appl. Math. Comput. – 2009. – Vоl. 208, № 1. – Р. 238–248. https://doi.org/10.1016/j.amc.2008.11.044

15. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М.: Наука, 1988. – 548 c.