Об отсутствии логарифмических особенностей у решений уравнений Ламе-тип

Объектом исследования являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с регулярными особенностями. Понятие регулярной особенности распространим и на линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Общее решение линейного дифференциального уравнения с регулярной особенностью является линейной комбинацией двух линейно независимых решений, одно из которых в общем случае содержит логарифмическую особенность. Известное уравнение Ламе, где в качестве одного из коэффициентов является эллиптическая функция Вейерштрасса, имеет только мероморфные решения. Рассмотрим такие линейные дифференциальные уравнения второго порядка с регулярными особенностями, если в качестве коэффициента вместо эллиптической функции Вейерштрасса принять функцию, являющуюся решением первого уравнения Пенлеве, либо функцию, являющуюся решением уравнения Кортевега – де Фриза. Эти уравнения будем называть уравнениями Ламе-типа. Возникает вопрос: при каких условиях общее решение уравнений Ламе-типа не содержит логарифмов? С этой целью в настоящей работе были исследованы решения уравнений Ламе-типа и найдены условия, которые позволяют судить о наличии или отсутствии в решениях исследуемых уравнений логарифмических особенностей. Приведен пример уравнения с иррегулярной особенностью, которое имеет решение с существенной особенностью, а также уравнение с регулярной особенностью, решение которого содержит логарифмическую особенность, так как определяющее для него уравнение имеет кратный корень.

1. Математическая энциклопедия: в 5 т. / редкол.: И. М. Виноградов (гл. ред.) [и др.]. – М.: Сов. энцикл., 1982. – Т. 3. – 1184 с.

2. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 4 т. / В. И. Смирнов. – М.: Наука, 1974. – Т. 3, ч. 2. – 672 с.

3. Бабич, Е. Р. О мероморфных решениях дифференциальных уравнений и систем / Е. Р. Бабич, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2016. – Т. 6, № 3. – С. 35–40.

4. Мартынов, И. П. О методах доказательства сходимости рядов, представляющих решения дифференциальных уравнений в частных производных / И. П. Мартынов, Е. Е. Кулеш, М. В. Мисник // Вестн. Брян. гос. ун-та. – 2012. – Т. 2, № 4. – С. 28–34.

5. Joshi, N. A method of proving the convergence of the Painlevé expansions of partial differential equations / N. Joshi, I. A. Petersen // Nonlinearity. – 1994. – Vol. 7, № 2. – P. 595–602. https://doi.org/10.1088/0951-7715/7/2/013

6. Бибило, Е. Р. О некоторых свойствах решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных / Е. Р. Бибило, И. П. Мартынов // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2016. – Т. 6, № 1. – С. 15–21.