Произвольной гладкости классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока

Рассматривается первая смешанная задача для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе, при этом исследуется существование и единственность решения произвольной гладкости. При решении данной задачи с помощью метода характеристик возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе n раз непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. Показано также, что для гладкости решения исходной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования. Данный подход позволяет строить как точные, так и приближенные решения. Точные решения могут быть найдены тогда, когда удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. Наряду с этим при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

1. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1105–1117.

2. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 1. – С. 77–88.

3. Корзюк, В. И. Граничные задачи для слабо нагруженного оператора гиперболического уравнения второго порядка в цилиндрической области / В. И. Корзюк, М. Т. Дженалиев, И. С. Козловская // Докл. Нац. акад. наук Беларуcи. – 2015. – Т. 59, № 6. – С. 33–39.

4. Ладыженская, О. А. О решении смешанной задачи для гиперболических уравнений / О. А. Ладыженская // Изв. Акад. наук СССР. Мат. серия. – 1951. – № 15. – С. 545–562.

5. Моисеев, Е. И. Разрешимость смешанной задачи для волнового уравнения с динамическим граничным условием / Е. И. Моисеев, А. А. Холомеева // Дифференц. уравнения. – 2012. – Т. 48, № 10. – С. 1412–1417.

6. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для волнового уравнения в цилиндрической области / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2021. – Т. 65, № 1. – С. 135–138.

7. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – C. 56–72.